"Геометрия", Погорелов А.В.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, если известны две другие. Обратная теорема позволяет проверить, прямоугольный ли треугольник, по длинам всех трёх сторон. Чтобы не перепутать действия, сначала находят прямой угол и определяют, какая сторона лежит напротив него.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Катетов всегда два, потому что у прямого угла две стороны. В чертеже их удобно обозначать буквами a и b. По катетам можно найти третью сторону треугольника.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она одна, поскольку в треугольнике только одна сторона находится напротив конкретного угла. Гипотенуза длиннее каждого катета: она стягивает прямой угол, а напротив большего угла лежит большая сторона. Её обычно обозначают буквой c.
Теорема Пифагора — утверждение о связи квадратов длин сторон прямоугольного треугольника. Если катеты обозначены a и b, а гипотенуза — c, то c² = a² + b². Это правило позволяет вычислить неизвестную сторону по двум известным. Оно работает только для прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора позволяет установить, является ли треугольник прямоугольным, если известны длины его сторон. Нужно проверить, равен ли квадрат наибольшей стороны сумме квадратов двух других. Если равенство выполняется, наибольшая сторона — гипотенуза, а треугольник прямоугольный. Это полезно, когда угол на чертеже неизвестен.
Обозначим катеты прямоугольного треугольника буквами a и b, а гипотенузу — c. Гипотенуза находится напротив прямого угла, поэтому по расположению сторон её можно отличить от катетов. Такое обозначение помогает записывать правило коротко и не путать, какую сторону ищут. Перед подстановкой чисел обязательно определите, какая сторона является гипотенузой.
Теорема Пифагора утверждает: c² = a² + b². Здесь квадрат длины стороны — это её длина, умноженная саму на себя: например, a² = a · a. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а не сумме самих длин. Равенство относится именно к прямоугольному треугольнику, потому что его стороны имеют особую связь, заданную прямым углом.
У равенства есть наглядный смысл через площади. Если построить квадрат на каждой стороне треугольника, площадь квадрата со стороной длины a будет a², а со стороной c — c². Поэтому равенство c² = a² + b² говорит: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Это геометрический способ увидеть, что теорема сравнивает не сами отрезки, а площади построенных квадратов.
Чтобы найти гипотенузу по двум катетам, сначала сложите квадраты катетов, а затем извлеките квадратный корень: c = √(a² + b²). Чтобы найти катет, перенесите квадрат другого катета в правую часть равенства: например, a² = c² − b². После этого извлеките корень: a = √(c² − b²). Вычитание необходимо, потому что квадрат гипотенузы уже включает квадраты обоих катетов.
Обратная теорема помогает проверить прямоугольность по трём длинам. Сначала выберите наибольшую сторону и обозначьте её c: только она может быть гипотенузой. Затем проверьте, выполняется ли c² = a² + b² для двух оставшихся сторон. Если равенство верно, треугольник прямоугольный; если нет, он не является прямоугольным.
| Что требуется найти или проверить | Соотношение |
|---|---|
| Гипотенуза c по катетам a и b | c² = a² + b²; c = √(a² + b²) |
| Катет a по гипотенузе c и катету b | a² = c² − b²; a = √(c² − b²) |
| Катет b по гипотенузе c и катету a | b² = c² − a²; b = √(c² − a²) |
| Проверка прямоугольности сторон a, b и c | Если c — наибольшая сторона и c² = a² + b², треугольник прямоугольный |
Сначала решите, что требуется найти: гипотенузу, катет или прямоугольность. Затем выберите соответствующую строку и подставьте длины в формулу, соблюдая обозначения. При проверке трёх сторон сначала найдите наибольшую; не принимайте за гипотенузу сторону наугад.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. Найти гипотенузу. Известны оба катета, значит, по теореме Пифагора нужно сложить их квадраты, а затем извлечь корень из результата. Обозначим искомую гипотенузу буквой c.
Ответ: гипотенуза равна 5 см. Проверка показывает, что 5² = 3² + 4², то есть 25 = 9 + 16. Гипотенуза получилась длиннее каждого катета, как и должно быть.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найти второй катет. Неизвестная сторона является катетом, поэтому нельзя складывать квадраты известных сторон. Выразим квадрат искомого катета как разность квадратов гипотенузы и известного катета.
Ответ: второй катет равен 12 см. Подставим найденное значение: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13². Проверка подтверждает, что вычисления согласуются с теоремой Пифагора.
Задача 3. Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Определить, является ли он прямоугольным. Углы неизвестны, поэтому применим обратную теорему Пифагора. Наибольшая сторона 17 см может быть гипотенузой; проверим равенство квадратов сторон.
Ответ: треугольник прямоугольный, его гипотенуза равна 17 см. Равенство квадратов выполнено, а наибольшая сторона принята за гипотенузу. Именно эти два условия нужны для применения обратной теоремы.
Иногда за гипотенузу принимают любой из длинных отрезков или путают её с катетом. Это происходит, если начать вычисление, не посмотрев на прямой угол. Сначала найдите угол в 90°: противоположная ему сторона и есть гипотенуза. Дополнительно проверьте, что она длиннее обоих катетов.
При поиске катета некоторые складывают квадраты гипотенузы и известного катета. Так ошибаются, механически вспоминая формулу, но не выражая неизвестную величину из равенства. Из c² = a² + b² следует, что a² = c² − b². Проверьте действие подстановкой: квадрат найденного катета вместе с квадратом известного должен дать квадрат гипотенузы.
Ещё одна ошибка — записывать равенство самих длин: c = a + b. Вероятно, путают названия сторон с формулой теоремы, в которой важны именно их квадраты. Запишите сначала c² = a² + b², а уже потом подставляйте значения. Если единицы измерения записаны, квадраты длин выражаются в квадратных сантиметрах, а после извлечения корня снова получается длина в сантиметрах.
При проверке прямоугольности иногда сравнивают квадрат не с той стороной или подставляют стороны в случайном порядке. Причина в том, что забывают: гипотенузой может быть только наибольшая сторона. Найдите её до вычислений, возведите в квадрат и сравните результат с суммой квадратов двух меньших сторон. Без такого порядка обратную теорему применять нельзя.
Для работы с теоремой нужно распознавать прямоугольный треугольник, различать катеты и гипотенузу, возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Эти действия уже знакомы по геометрии и арифметике, а здесь они используются вместе. Теорема помогает вычислять расстояния и длины отрезков в геометрических задачах. Если в фигуре нет прямоугольного треугольника сразу, её можно разбить на такие треугольники; обратная теорема, в свою очередь, проверяет прямоугольность по длинам сторон.
Как понять, какая сторона прямоугольного треугольника является гипотенузой?
Найдите прямой угол: напротив него лежит гипотенуза. Она также является самой длинной стороной треугольника.
Почему в теореме Пифагора складывают квадраты сторон, а не сами стороны?
Теорема сравнивает площади квадратов, построенных на сторонах треугольника. Площадь квадрата со стороной длины a равна a², поэтому складываются квадраты длин, а не сами длины.
Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?
Возведите гипотенузу и известный катет в квадрат, затем вычтите квадрат катета из квадрата гипотенузы. Из полученной разности извлеките квадратный корень.
Можно ли применить теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорема Пифагора относится только к прямоугольному треугольнику. Перед вычислениями нужно убедиться, что один из его углов прямой.
Как по длинам трёх сторон проверить, что треугольник прямоугольный?
Выберите наибольшую сторону и возведите её в квадрат. Если полученный результат равен сумме квадратов двух остальных сторон, то треугольник прямоугольный.
63. Теорема Пифагора
