"Геометрия", Погорелов А.В.
Косинус связывает величину угла с отношением сторон прямоугольного треугольника. Для острого угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе; оно не зависит от размеров треугольника. Косинус помогает находить неизвестные стороны и углы, а для углов от 0° до 180° показывает направление проекции: у острого угла он положителен, у тупого — отрицателен, а его значение всегда находится от −1 до 1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе. Его обозначают cos α, где α — величина угла. По этому отношению можно сравнивать углы и находить сторону треугольника, даже если сам треугольник большой или маленький.
Прилежащий катет — катет, образующий данный острый угол. У прямоугольного треугольника два острых угла, поэтому у каждого из них свой прилежащий катет. Чтобы не перепутать его с другим катетом, сначала отметь угол, косинус которого нужно найти.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она длиннее каждого катета и не меняется при выборе одного или другого острого угла. В определении косинуса гипотенуза всегда стоит в знаменателе, поэтому её важно правильно определить.
Косинус угла от 0° до 180° — число, которое характеризует положение стороны угла относительно выбранного направления; для тупого угла оно отрицательно. Для острого угла косинус можно понимать как отношение сторон прямоугольного треугольника, а для более широкого диапазона углов — как проекцию направления на начальное направление. Это позволяет говорить о косинусе прямого и тупого углов, даже когда отношение катетов уже неприменимо.
Если прямоугольные треугольники имеют одинаковый острый угол, то они подобны: у них равен ещё и прямой угол, а сумма углов треугольника равна 180°. При подобии стороны меняются в одинаковое число раз. Поэтому отношение прилежащего катета к гипотенузе остаётся прежним, и косинус задаётся величиной угла, а не размером треугольника.
Постоянство косинуса можно обосновать именно подобием. Возьмём два прямоугольных треугольника с одним и тем же острым углом и отметим в каждом прилежащий катет и гипотенузу. Эти стороны соответствуют друг другу, а отношения соответствующих сторон подобных треугольников равны. Значит, деление катета на гипотенузу даст одно и то же число в обоих треугольниках.
У острого угла прилежащий катет и гипотенуза направлены так, что их отношение положительно и меньше единицы: катет короче гипотенузы. При увеличении угла до 90° прилежащее направление перестаёт иметь длину проекции на начальное направление, и значение доходит до нуля. Если угол становится тупым, проекция направлена противоположно начальной стороне, поэтому косинус получает знак минус.
Значение косинуса не выходит за пределы от −1 до 1, потому что проекция направления на выбранное направление не может быть длиннее самого направления. Если представить направленную сторону как радиус окружности, то её длина равна радиусу, а проекция на ось не длиннее радиуса. При нулевом угле проекция равна радиусу, при 180° она равна ему по длине, но направлена в обратную сторону; отсюда крайние значения 1 и −1.
Дополнительными называют два угла, сумма которых равна 90°. В прямоугольном треугольнике острые углы дополнительные, а катет, прилежащий к одному углу, противолежит другому. Поэтому косинус одного угла равен синусу другого: cos α = sin(90° − α). По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов; если разделить равенство на квадрат гипотенузы, получим cos² α + sin² α = 1.
| Случай | Как определяется или вычисляется | Значение и знак |
|---|---|---|
| Острый угол α | Прилежащий катет делят на гипотенузу | 0 < cos α < 1 |
| Прямой угол | Используется предельное значение для угла 90° | cos 90° = 0 |
| Тупой угол α | Косинус определяется с учётом противоположного направления проекции | −1 < cos α < 0 |
| Нулевой угол | Рассматривается как начальное направление | cos 0° = 1 |
| Развёрнутый угол | Рассматривается как противоположное начальному направление | cos 180° = −1 |
| Любой угол от 0° до 180° | Сравнивается с единичным отрезком или радиусом | −1 ≤ cos α ≤ 1 |
Сначала найди строку, подходящую к виду угла, а затем проверь знак и допустимые границы значения. Для острого угла вычисляй косинус по сторонам прямоугольного треугольника. Для прямого, тупого, нулевого и развёрнутого углов ориентируйся на указанное значение или направление проекции.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а прилежащий к углу A катет — 6 см. Найдите cos A. Нужно выбрать именно катет, прилежащий к углу A, и поделить его длину на гипотенузу.
Ответ: cos A = 0,6.
Задача 2. Косинус острого угла равен 3/5, а гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Найдите прилежащий катет и второй катет. Сначала по косинусу найдём прилежащий катет, а затем используем теорему Пифагора.
Ответ: прилежащий катет равен 9 см, второй катет — 12 см.
Задача 3. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Здесь не ищут катет прямоугольного треугольника: известные стороны и угол между ними подходят для теоремы косинусов.
Ответ: √39 см, приблизительно 6,24 см.
В числителе иногда записывают противолежащий катет, потому что путают косинус с синусом. Проверка: найди катет, который касается рассматриваемого острого угла и не является гипотенузой. Для косинуса нужен именно он, а противолежащий катет используют в отношении синуса.
В знаменатель могут поставить катет вместо гипотенузы, если стороны выбраны только по их положению рядом с углом. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, и это правило не меняется. Перед вычислением отметь прямой угол и найди сторону напротив него: она должна стоять в знаменателе.
Косинус тупого угла иногда считают положительным, потому что забывают о направлении проекции. При тупом угле проекция направлена против начального направления, поэтому значение отрицательно. Проверь ответ по виду угла: если угол больше 90°, знак косинуса должен быть минус.
Ещё одна ошибка — получить косинус больше 1 или меньше −1 и оставить его без проверки. Такое число не может быть косинусом угла от 0° до 180°, поскольку проекция не длиннее самого направления. Проверь, не поменяны ли местами числитель и знаменатель, и повтори арифметические действия.
Для работы с косинусом нужны знания о прямоугольном треугольнике, теореме Пифагора, подобии треугольников и видах углов. Подобие объясняет, почему отношение сторон не зависит от размера треугольника, а теорема Пифагора помогает находить неизвестный катет. Косинус применяют вместе с синусом и тангенсом при решении прямоугольных треугольников. Позже он понадобится в теореме косинусов, координатном методе и задачах об углах между векторами.
Как понять, какой катет считать прилежащим к углу?
Посмотри на катеты, образующие прямой угол. Тот катет, который одновременно образует и рассматриваемый острый угол, называется прилежащим; второй катет ему противолежит.
Почему в формуле косинуса в знаменателе стоит гипотенуза?
По определению косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является общей стороной, с которой сравнивают катет.
Может ли косинус быть больше единицы?
Нет, для угла от 0° до 180° косинус находится между −1 и 1 включительно. Если получилось число за этими пределами, проверь выбор сторон, вычисления и запись дроби.
Почему косинус тупого угла отрицателен?
Для тупого угла направление его стороны образует с выбранным начальным направлением угол больше 90°. Проекция на начальное направление обращена в противоположную сторону, поэтому косинус отрицателен.
Как найти сторону треугольника, если известен косинус угла?
В прямоугольном треугольнике умножь гипотенузу на косинус острого угла, чтобы найти прилежащий катет. Если известны две стороны обычного треугольника и угол между ними, можно применить теорему косинусов.
62. Косинус угла
