"Геометрия", Погорелов А.В.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. По этой формуле можно найти неизвестную сторону, если известны две другие. Она помогает вычислять диагонали прямоугольников, расстояния и длины отрезков в задачах. Главное — сначала найти прямой угол, правильно определить гипотенузу и лишь затем подставлять длины в формулу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого прямой, то есть равен 90°. Стороны, образующие этот угол, называют катетами, а сторону напротив него — гипотенузой. Такое название сторон помогает понять, какие величины подставлять в формулу теоремы и какую из них искать.
Квадрат числа — произведение этого числа на себя: например, 4² = 4 · 4 = 16. В записи теоремы квадраты длин сторон обозначают a², b² и c², где буквы обозначают длины сторон. Квадраты нужны потому, что теорема сравнивает не сами длины, а их квадраты.
Теорема Пифагора — утверждение о связи квадратов гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника. Если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то c² = a² + b². Формула позволяет найти неизвестную сторону, когда известны две другие, поэтому полезно сразу разбираться, какая буква обозначает каждую сторону.
Теорема относится именно к прямоугольному треугольнику, потому что связь между квадратами его сторон зависит от наличия прямого угла. Без такого угла стороны не обязаны удовлетворять равенству Пифагора. Сначала найди угол 90°, а затем назови катетами стороны, которые его образуют. Оставшаяся сторона напротив прямого угла и будет гипотенузой.
Теорема формулируется так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В буквенной записи это c² = a² + b², если c — гипотенуза, а a и b — катеты. Стороны важно не перепутать: гипотенуза стоит отдельно слева, а катеты — в сумме справа. Если обозначить буквой c катет, формула уже не будет соответствовать этому обозначению.
Геометрический смысл формулы можно увидеть, построив квадрат на каждой стороне треугольника. Площадь квадрата со стороной a равна a², со стороной b — b², а со стороной c — c². Теорема утверждает, что площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Такое сравнение площадей объясняет, почему складываются именно квадраты длин, а не сами длины.
Если известны катеты, сначала возведи каждый в квадрат, сложи результаты и извлеки квадратный корень: c = √(a² + b²). Если нужно найти катет, переставь слагаемые в равенстве: например, a² = c² − b². Вычитание появляется потому, что из суммы квадратов катетов нужно убрать квадрат известного катета, чтобы оставить квадрат неизвестного. После этого извлеки корень: a = √(c² − b²).
Полученное число нужно проверить, а не считать правильным только потому, что вычисления выполнены. Подставь найденную длину в равенство и сравни его части; кроме того, длина стороны должна быть положительной. Гипотенуза должна оказаться больше каждого катета, поскольку лежит напротив прямого угла. Если эти условия не выполняются, проверь, не перепутаны ли стороны и верно ли выполнены действия.
Выбери нужную строку по тому, какую сторону требуется найти. Буква c в таблице всегда обозначает гипотенузу, а a и b — катеты. После подстановки известных длин вычисли значение под корнем и найди корень.
| Что требуется найти | Равенство | Формула для вычисления |
|---|---|---|
| Гипотенузу c при катетах a и b | c² = a² + b² | c = √(a² + b²) |
| Катет a при гипотенузе c и катете b | a² = c² − b² | a = √(c² − b²) |
| Катет b при гипотенузе c и катете a | b² = c² − a² | b = √(c² − a²) |
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. Искомая сторона лежит напротив прямого угла, значит, нужно использовать формулу для гипотенузы. Обозначим катеты a = 3 см и b = 4 см.
Ответ: 5 см. Проверка: 5² = 3² + 4², то есть 25 = 25.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Поскольку дана гипотенуза, её квадрат равен сумме квадратов двух катетов. Чтобы оставить квадрат неизвестного катета, вычтем квадрат известного из квадрата гипотенузы.
Ответ: 12 см. Проверка: 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13², а гипотенуза 13 см больше каждого катета.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет стороны 6 м и 8 м. Найдите длину диагонали и проверьте, поместится ли на площадке прямая рейка длиной 11 м, положенная от одного угла к противоположному. Диагональ вместе со сторонами площадки образует прямоугольный треугольник. Значит, стороны площадки — катеты, а диагональ — гипотенуза.
Ответ: диагональ равна 10 м; рейка длиной 11 м не поместится по диагонали.
Иногда гипотенузой называют самую длинную сторону, не проверив, где расположен прямой угол. Хотя в прямоугольном треугольнике гипотенуза действительно длиннее катетов, определяют её по положению напротив прямого угла. Отметь прямой угол и найди противоположную сторону. Это поможет не подставить катет вместо гипотенузы.
Запись c = a + b вместо c² = a² + b² появляется, когда забывают, что в теореме сравниваются квадраты сторон. Простое сложение длин не даёт гипотенузу. Перед вычислением проверь, что каждую длину сначала возвели в квадрат, и только потом сложили результаты. В конце извлеки квадратный корень, если ищешь длину c.
При поиске катета могут по ошибке сложить квадраты гипотенузы и известного катета. Но квадрат гипотенузы уже равен сумме квадратов обоих катетов, поэтому квадрат одного катета нужно вычесть. Запиши исходное равенство и перенеси известное слагаемое в другую часть. Проверка подстановкой покажет, верно ли составлено выражение.
Ещё одна ошибка — остановиться на значении квадрата стороны или выбрать отрицательный корень. Например, из a² = 144 нужно получить длину a = 12, а не оставить ответом 144 и не взять −12. Извлеки корень и оставь положительное значение. Затем проверь, что найденная сторона короче гипотенузы, если это катет.
Для работы с теоремой нужно уметь распознавать прямой угол и различать стороны прямоугольного треугольника. Также понадобятся возведение чисел в квадрат, извлечение квадратного корня и преобразование простых равенств. Теорема помогает находить диагонали прямоугольников и квадратов, ведь диагональ образует с их сторонами прямоугольный треугольник. Позднее та же связь будет полезна при вычислении расстояний и работе с координатами.
Как быстро определить гипотенузу?
Найди прямой угол: гипотенуза — сторона, лежащая напротив него. Она также самая длинная сторона прямоугольного треугольника, но определять её нужно прежде всего по расположению относительно прямого угла.
Почему в формуле складывают квадраты, а не сами длины?
Теорема связывает не сами длины сторон, а площади квадратов, построенных на этих сторонах. Поэтому в формуле стоят квадраты: c² = a² + b².
Как найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?
Возведи гипотенузу и известный катет в квадрат, затем вычти квадрат катета из квадрата гипотенузы. Из полученного числа извлеки квадратный корень.
Можно ли применить теорему Пифагора к треугольнику без прямого угла?
Нет, теорема Пифагора относится только к прямоугольным треугольникам. Сначала нужно убедиться, что один из углов треугольника прямой.
Как проверить, правильно ли вычислена сторона?
Подставь найденную длину в равенство теоремы и проверь, что левая и правая части равны. Также убедись, что длина положительна, а гипотенуза больше каждого катета.
§ 7. Теорема Пифагора
