"Геометрия", Погорелов А.В.
В треугольнике можно провести медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры — у каждого вида линий есть своя особая точка пересечения. Центр тяжести делит медиану в отношении 2:1, центр вписанной окружности равноудалён от сторон, а центр описанной окружности — от вершин. Точка пересечения высот называется ортоцентром; она может находиться внутри треугольника, на его вершине или вне его. Эти свойства помогают доказывать утверждения и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Например, если M — середина BC, то AM — медиана треугольника ABC. Чтобы построить её, сначала находят середину стороны, а затем соединяют её с противоположной вершиной. Медиана нужна, чтобы делить треугольник на части и исследовать его центр тяжести.
Биссектриса угла делит угол на два равных угла. Биссектрисой треугольника называют не весь луч, а его отрезок от вершины до противоположной стороны. Например, если луч биссектрисы угла A пересекает BC в точке D, то AD — биссектриса треугольника ABC. Она помогает находить точку, одинаково удалённую от сторон углов.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если основание высоты из A обозначить H, то AH ⟂ BC. В остроугольном треугольнике H лежит на стороне BC, а в тупоугольном может оказаться на её продолжении. Высота нужна для определения расстояния от вершины до прямой противоположной стороны.
Серединный перпендикуляр к стороне — прямая, проходящая через середину этой стороны и перпендикулярная ей. Например, для AB он проходит через середину AB под прямым углом к AB. Это не отрезок, проведённый из вершины, а отдельная прямая. По ней можно найти точки, равноудалённые от концов стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром тяжести. Это не случайное совпадение: медиана разбивает треугольник на два треугольника равной площади, а все три медианы согласованно делят его массу. Если представить однородный треугольник как плоскую пластинку, точка пересечения медиан будет местом равновесия. Она делит каждую медиану в отношении 2:1: часть от вершины до центра вдвое длиннее части от центра до середины стороны.
Биссектрисы трёх углов тоже проходят через одну точку. Причина связана со свойством биссектрисы: любая точка на ней находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Расстояние здесь измеряют по перпендикуляру к каждой стороне. Общая точка биссектрис равноудалена от всех трёх сторон, поэтому её можно взять центром окружности, касающейся этих сторон. Такая окружность вписана в треугольник, а её центр всегда находится внутри него.
Серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке. Точка на серединном перпендикуляре к AB равноудалена от A и B: получаются два прямоугольных треугольника с равными половинами AB и общей высотой. Поэтому для точки пересечения перпендикуляров к двум сторонам выполняются равенства OA = OB и OA = OC, а значит, OA = OB = OC. Эта точка служит центром окружности, проходящей через все три вершины; её положение зависит от формы треугольника.
Высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке — ортоцентре. Это можно объяснить, дополнив треугольник прямыми, параллельными его сторонам: высоты исходного треугольника становятся перпендикулярами к сторонам получившегося треугольника, и их общая точка лежит на соответствующих прямых. У остроугольного треугольника основания высот и ортоцентр находятся внутри. У прямоугольного две высоты совпадают с катетами, поэтому ортоцентр — вершина прямого угла; у тупоугольного он расположен вне треугольника.
Четыре точки пересечения различают по линиям, которые к ним приводят, и по их смыслу. Медианы дают центр тяжести, биссектрисы — центр вписанной окружности, а серединные перпендикуляры — центр описанной окружности. Пересечение высот называют ортоцентром, и его положение особенно зависит от вида треугольника. Такое сопоставление помогает выбрать нужное свойство: отношение отрезков, равные расстояния до сторон или вершин либо расположение высот.
В таблице собраны линии, названия их общих точек, возможное положение и главное свойство. Сначала определите, какие линии даны в задаче, а затем найдите соответствующую строку. Так проще выбрать подходящее свойство и не спутать разные точки.
| Какие линии пересекаются | Название точки пересечения | Где расположена | Особое свойство |
|---|---|---|---|
| Три медианы | Центр тяжести | Внутри треугольника | Делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины |
| Три биссектрисы углов | Центр вписанной окружности | Внутри треугольника | Равноудалён от сторон треугольника |
| Серединные перпендикуляры к сторонам | Центр описанной окружности | Внутри остроугольного; на середине гипотенузы у прямоугольного; вне тупоугольного | Равноудалён от вершин треугольника |
| Три высоты или их продолжения | Ортоцентр | Внутри остроугольного; в вершине прямого угла; вне тупоугольного | Лежит на каждой высоте или её продолжении |
Задача 1. В треугольнике ABC точка M — пересечение медиан, AM = 12 см. Найдите расстояния от M до A и до середины стороны BC. Обозначим середину BC буквой D: тогда AD — медиана, а M лежит на ней. Используем правило деления медианы в отношении 2:1 от вершины.
Ответ: расстояние от M до A равно 12 см, а от M до середины BC — 6 см. Проверка: большая часть медианы прилегает к вершине и вдвое длиннее меньшей.
Задача 2. Точка O равноудалена от сторон угла A и лежит внутри треугольника ABC. Объясните, почему O лежит на биссектрисе угла A, и определите, где находится центр пересечения биссектрис треугольника. Равноудалённость от сторон означает равенство длин перпендикуляров, опущенных из O на стороны угла. Для обратного свойства нужно убедиться, что O находится внутри угла.
Ответ: O лежит на биссектрисе угла A; центр пересечения биссектрис расположен внутри треугольника. Если O принадлежит также биссектрисам углов B и C, то она и есть этот центр.
Задача 3. В треугольнике ABC проведены серединные перпендикуляры к AB и AC, пересекающиеся в точке O. Докажите, что O равноудалена от всех вершин, и укажите возможное положение O для разных видов треугольника. Здесь важно применить свойство каждой из двух прямых отдельно, а затем объединить полученные равенства.
Ответ: O равноудалена от A, B и C. Её положение определяется видом треугольника, а не тем, какие именно две стороны использовали для построения серединных перпендикуляров.
Ошибка: считать, что точка пересечения медиан делит каждую медиану пополам. Так думают, потому что слово «середина» входит в определение медианы: она проходит к середине стороны, но сама точка пересечения не является серединой медианы. Проверка проста: отрезок от вершины до центра тяжести должен быть вдвое длиннее оставшейся части.
Ошибка: называть биссектрисой отрезок от вершины к середине противоположной стороны. Здесь смешивают два определения, хотя медиана идёт к середине стороны, а биссектриса делит угол на равные части. Они обычно не совпадают. Проверьте равенство углов по обе стороны от биссектрисы, а не положение её конца на середине стороны.
Ошибка: путать серединный перпендикуляр с высотой. Оба объекта перпендикулярны стороне, но серединный перпендикуляр проходит через середину стороны, а высота проводится из противоположной вершины. У высоты основание не обязано быть серединой стороны. Чтобы проверить построение, отметьте, через какую точку проходит нужная прямая.
Ошибка: считать, что точка пересечения высот всегда лежит внутри треугольника. Это верно для остроугольного треугольника, поэтому такой случай легко принять за общее правило. У прямоугольного ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, а у тупоугольного лежит вне треугольника. Сначала определите вид треугольника, затем указывайте положение точки.
Для этой темы нужны умения находить середину отрезка, проводить перпендикуляр и работать с биссектрисой угла. Знание равноудалённости от сторон угла и от концов отрезка пригодится при изучении вписанной и описанной окружностей. Замечательные точки помогают обосновывать геометрические утверждения, выбирать способ доказательства и выполнять построения. Например, равные расстояния до вершин подсказывают, где искать центр окружности, проходящей через эти вершины.
Почему точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника?
Если треугольник сделан из однородного тонкого материала, его можно уравновесить на острие в точке пересечения медиан. Поэтому эту точку называют центром тяжести. В геометрии это название связано с тем, что медианы действительно встречаются в одной точке.
В каком отношении точка пересечения делит медиану?
Она делит каждую медиану в отношении 2:1. Большая часть находится между вершиной и точкой пересечения, меньшая — между этой точкой и серединой противоположной стороны.
Почему центр пересечения биссектрис находится внутри треугольника?
Внутри треугольника лежат внутренние углы, и их биссектрисы пересекаются в общей точке. Точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, поэтому общая точка равноудалена от всех сторон треугольника.
Как по серединным перпендикулярам доказать, что точка равноудалена от вершин?
Точка на серединном перпендикуляре к AB равноудалена от A и B, поэтому OA = OB. Если она также лежит на серединном перпендикуляре к AC, то OA = OC. Значит, OA = OB = OC.
Где находится точка пересечения высот у тупоугольного треугольника?
Она находится вне треугольника. Чтобы высоты пересеклись в этой точке, приходится продолжать некоторые высоты за пределы сторон треугольника.
61. Замечательные точки в треугольнике
