60. Пропорциональные отрезки

Определения и обозначения

Отношение двух отрезков — это частное от деления длины одного отрезка на длину другого. Например, для отрезков длиной 6 см и 3 см отношение равно 6/3 = 2. Перед сравнением длины обязательно выражают в одной единице измерения: сантиметры и миллиметры сначала переводят в одинаковые единицы. Отношение показывает, во сколько раз один отрезок длиннее другого.

Четыре отрезка называют пропорциональными, если отношение длин первой пары равно отношению длин второй пары. Если их длины равны a, b, c и d, это записывают так: a/b = c/d; такая запись называется пропорцией. Важно, чтобы пары и порядок отрезков были выбраны по соответствию. Пропорция позволяет сравнивать отрезки и находить неизвестную длину.

Четвёртый пропорциональный — отрезок, длина которого завершает пропорцию, когда длины трёх других отрезков известны. Например, если a/b = c/x, то x — четвёртый пропорциональный к a, b и c. Его длину находят решением пропорции: перемножают крайние и средние члены. Это даёт способ вычислить отрезок, который нельзя или неудобно измерить напрямую.

Как это устроено

Равенство отношений записывают как пропорцию, например a/b = c/d. Члены, стоящие по краям записи, называют крайними, а два внутренних — средними. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: если a/b = c/x, то a · x = b · c. Поэтому неизвестный член можно найти умножением и делением, а полученное значение проверить подстановкой в исходное равенство.

Представь угол с вершиной O и две его стороны-луча. Несколько параллельных прямых пересекают оба луча: на одном возникают точки A₁, A₂, на другом — B₁, B₂, причём A₁B₁ ∥ A₂B₂. От вершины до первых пересечений получаются отрезки OA₁ и OB₁, а до вторых — OA₂ и OB₂. Промежутки между соседними параллельными на лучах — это A₁A₂ и B₁B₂.

Треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂ подобны. У них общий угол при O, а ещё одна пара углов равна, потому что стороны этих углов лежат на параллельных прямых; значит, совпадают и третьи углы. У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны, поэтому OA₁/OB₁ = OA₂/OB₂. Если из равных отношений отрезков от вершины вычесть соответствующие части, получим и равенство отношений промежутков: A₁A₂/B₁B₂ = OA₁/OB₁.

Тот же результат действует в треугольнике ABC. Пусть D лежит на стороне AB, E — на стороне AC, а DE параллельна BC. Тогда треугольники ADE и ABC подобны: у них общий угол A, а остальные соответствующие углы равны из-за параллельности DE и BC. Отсюда AD/AB = AE/AC; если сравнить оставшиеся части сторон, получим AD/DB = AE/EC. Значит, прямая, параллельная стороне треугольника, делит две другие стороны пропорционально.

Чтобы найти неизвестную длину, сначала выбери соответствующие отрезки, затем запиши их отношения в одном порядке и составь пропорцию. Например, из AD/DB = AE/EC можно найти EC, если известны три остальные длины. Так же можно не вычислять длину, а доказать равенство отношений: показать, что отрезки соответствуют параллельным прямым, и применить полученное свойство. Если в условии дана целая сторона, составленная из частей, сначала вырази её как сумму этих частей.

Пропорциональные отрезки при пересечении параллельными прямыми

Сначала найди в условии конфигурацию и проверь, какие отрезки соответствуют друг другу. Затем выбери нужную запись из таблицы, сохрани одинаковый порядок частей в отношениях и подставь известные длины. Если требуется целая сторона, сложи её части.

Разбор задач

Задача 1. На сторонах угла параллельные прямые отсекают от вершины отрезки длиной 4 см и 6 см на одной стороне, 5 см и x см на другой. Найти x. Здесь речь идёт о расстояниях от вершины до соответствующих параллельных прямых: первая пара — 4 и 5, вторая — 6 и x. Поскольку прямые параллельны, эти расстояния пропорциональны.

1. Сопоставим отрезки до первой и второй параллельных прямых: 4/5 = 6/x.
2. Перемножим крайние и средние члены: 4x = 30.
3. Разделим обе части равенства на 4: x = 7,5 см.

Ответ: 7,5 см. Проверка: 4/5 = 0,8 и 6/7,5 = 0,8, значит, отношения совпадают.

Задача 2. В треугольнике ABC точки D и E лежат соответственно на AB и AC, причём DE ∥ BC. Даны AD = 3 см, DB = 5 см и AE = 4,5 см. Найти EC. Параллельная сторонам BC прямая делит стороны AB и AC пропорционально, поэтому можно сравнить части AD и DB с AE и EC. Здесь нужна именно часть DB, а не вся сторона AB.

1. Запишем теорему: AD/DB = AE/EC.
2. Подставим данные: 3/5 = 4,5/EC.
3. Перемножим крест-накрест: 3 · EC = 5 · 4,5 = 22,5.
4. Разделим 22,5 на 3: EC = 7,5 см.

Ответ: EC = 7,5 см. Если понадобится вся сторона AB, её нужно составить из частей: AB = AD + DB = 3 + 5 = 8 см.

Задача 3. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне промежутки между соседними параллельными равны 3 см и 5 см, а на другой соответствующий первому промежуток равен 4,2 см. Найти второй промежуток. Здесь даны не расстояния от вершины угла, а именно промежутки между прямыми. Они тоже пропорциональны, если сохранять соответствие.

1. Составим отношение второго промежутка к первому на первой стороне: 5/3.
2. На другой стороне такое же отношение равно x/4,2, поэтому 5/3 = x/4,2.
3. Найдём неизвестную длину: x = 4,2 · 5/3 = 7.

Ответ: 7 см. Отношение 7/4,2 равно 5/3, поэтому найденные промежутки соответствуют условию.

Типичные ошибки

Первая ошибка — составлять пропорцию из несоответствующих отрезков. Её допускают, когда выбирают числа по порядку в условии, не выясняя, какие части отвечают друг другу. Чтобы проверить запись, назови каждый отрезок словами: например, «до первой параллельной» должен соответствовать такому же отрезку на другом луче. Если порядок соответствия в дробях одинаковый, пропорция составлена правильно.

Вторая ошибка — сравнивать длины в разных единицах, например сантиметры и миллиметры. Числа при этом относятся к разным единицам измерения, поэтому полученное отношение будет неверным. Перед вычислениями переведи все длины в сантиметры или все в миллиметры. После этого проверь, что в каждом отношении делятся величины, выраженные одинаково.

Третья ошибка — вместо промежутка между параллельными прямыми подставить отрезок от вершины угла до прямой или наоборот. Эти отрезки имеют разные концы, поэтому даже на одной стороне угла обычно разной длины. Ошибка появляется, когда в записи не отмечают, где начинается и где заканчивается нужный отрезок. Проверяй обозначения: для отрезка от вершины один конец должен быть в вершине, а для промежутка оба конца лежат на соседних параллельных.

Четвёртая ошибка — забыть, что целая сторона треугольника состоит из двух частей. Например, если D лежит на AB, то AB = AD + DB, а не только AD или DB. Это путают, когда в условии даны сразу часть стороны и вся сторона. Перед подстановкой в пропорцию подпиши, что именно требуется: целый отрезок или его часть, и при необходимости найди целое сложением.

Связь с другими темами

Для изучения пропорциональных отрезков нужны отношения и пропорции, умение находить неизвестный член пропорции и знание признака подобия треугольников. Подобие объясняет, почему при параллельных прямых возникают равные отношения соответствующих сторон. Позже это свойство поможет изучать теорему Фалеса и другие задачи на подобие. Оно также полезно в практических вычислениях длин, когда прямое измерение затруднено.

Что запомнить

• Отношение отрезков — это отношение их длин, выраженных в одной единице.
• Пропорциональные отрезки имеют равные отношения соответствующих длин.
• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
• Прямая, параллельная стороне треугольника, делит две другие стороны пропорционально.
• В пропорции необходимо правильно сопоставлять отрезки.
• Неизвестный отрезок находят, составляя пропорцию из соответствующих длин.