"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Если параллельные прямые пересекают обе стороны угла, отрезки, которые они отсекают, связаны равными отношениями. Это свойство помогает находить неизвестные длины и доказывать, что прямые параллельны. Чтобы им пользоваться, нужно правильно сопоставить отрезки: сравнивать части, расположенные одинаково относительно вершины угла. Основа рассуждения — подобие треугольников, образованных сторонами угла и параллельными прямыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух отрезков — это отношение их длин, то есть дробь, в которой длина одного отрезка делится на длину другого. Например, для отрезков длиной 6 см и 3 см отношение равно 6/3 = 2. Перед вычислением длины нужно выразить в одинаковых единицах: нельзя напрямую делить 6 см на 3 мм. Отношение показывает, во сколько раз один отрезок длиннее другого, и помогает сравнивать отрезки.
Пропорциональными называют отрезки, отношения длин которых равны. Например, отрезки 6 см и 10 см пропорциональны отрезкам 9 см и 15 см, потому что 6/10 = 9/15. Равенство отношений записывают как пропорцию. Это понятие нужно, чтобы находить неизвестные длины и устанавливать связь между отрезками, не измеряя каждый из них отдельно.
Пусть из вершины A выходят стороны угла, а две параллельные прямые пересекают их в точках D₁ и E₁, затем D₂ и E₂. Отрезки AD₁ и AE₁ заключены между вершиной A и точками пересечения с первой прямой; AD₂ и AE₂ — между вершиной и точками пересечения со второй. Именно такие части сторон называют отрезками, отсекаемыми параллельными прямыми. Для промежутка между прямыми берут отрезки D₁D₂ и E₁E₂.
Представим угол с вершиной A и его стороны, направленные от A. Проведём через угол две параллельные прямые: первая пересечёт стороны в D₁ и E₁, вторая — в D₂ и E₂. Получатся треугольники AD₁E₁ и AD₂E₂, а точки D₁, D₂ лежат на одной стороне угла, E₁, E₂ — на другой. Такая схема позволяет сопоставлять отрезки, исходящие из одной вершины.
У этих треугольников угол при A общий. Поскольку прямые D₁E₁ и D₂E₂ параллельны, углы, образованные ими со сторонами угла, равны как соответствующие углы при параллельных прямых. Значит, треугольники подобны: у них совпадают углы, а соответствующие стороны имеют одинаковое отношение. Параллельность здесь важна именно потому, что она обеспечивает равенство углов.
Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: AD₁/AD₂ = AE₁/AE₂ = D₁E₁/D₂E₂. Поэтому параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки. Это и есть теорема о пропорциональных отрезках. Если известно расстояние от вершины до одной прямой и соответствующее расстояние на другой стороне угла, можно составить пропорцию и найти неизвестное.
Можно рассматривать не только отрезки от вершины до параллельных прямых, но и промежутки между ними. На одной стороне такой промежуток — D₁D₂, на другой — E₁E₂; они соответствуют друг другу, потому что ограничены точками пересечения одних и тех же двух параллельных прямых. Соответствующие части сторон пропорциональны: например, D₁D₂/E₁E₂ = AD₁/AE₁. При выборе пропорции проверяйте, какие точки ограничивают каждый отрезок, а не ориентируйтесь только на его длину.
Теорему можно применить и в обратном направлении. Пусть на сторонах угла выбраны точки D и E на одной стороне, F и G — на другой, причём расстояния от вершины удовлетворяют равенству AD/AE = AF/AG. Тогда треугольники ADF и AEG подобны: угол при A общий, а прилегающие к нему стороны пропорциональны. Из подобия следует равенство соответствующих углов, а значит, прямые DF и EG параллельны. Так пропорция помогает не только находить длины, но и доказывать параллельность.
| Элемент или вывод | Обозначение | Что следует |
|---|---|---|
| Условие о параллельности прямых | D₁E₁ ∥ D₂E₂ | Прямые пересекают обе стороны угла |
| Отрезки от вершины угла до первой параллельной прямой | AD₁, AE₁ | Соответствующие части сторон |
| Отрезки от вершины угла до второй параллельной прямой | AD₂, AE₂ | Образуются подобные треугольники AD₁E₁ и AD₂E₂ |
| Соотношение соответствующих отрезков | AD₁/AD₂ = AE₁/AE₂ | Отрезки пропорциональны |
| Обратное применение пропорции | AD/AE = AF/AG | Соединяющие соответствующие точки прямые параллельны |
Сначала найдите вершину угла и отметьте, какие точки лежат на каждой его стороне. Затем сопоставьте отрезки, которые занимают одинаковое положение относительно вершины, и запишите пропорцию. Если известны три длины, из неё можно найти четвёртую; если пропорция дана заранее, иногда можно доказать параллельность прямых.
Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне от вершины до первой прямой 4 см, до второй — 10 см; на другой стороне до первой прямой 6 см. Найдём расстояние от вершины до второй прямой на другой стороне. Сопоставляем расстояния до первой прямой между собой и до второй прямой между собой.
Ответ: расстояние от вершины до второй прямой на другой стороне угла равно 15 см. Неизвестное больше 6 см, что согласуется с тем, что вторая прямая расположена дальше от вершины. Проверка пропорции подтверждает вычисление.
В треугольнике ABC точки D и E лежат на AB и AC соответственно, причём DE параллельна BC. Даны AB = 15 см, AD = 9 см и AC = 20 см; требуется найти AE и EC. Параллельные BC и DE пересекают стороны угла A, поэтому расстояния от A пропорциональны. Сначала найдём AE, а затем вычтем его из всей длины AC.
Ответ: AE = 12 см, EC = 8 см. Проверка показывает, что части AE и EC в сумме дают AC: 12 + 8 = 20 см. Использовать в пропорции нужно именно AD и AB, а не AD и DB: первое отношение сравнивает расстояния от вершины до соответствующих параллельных прямых.
На сторонах угла отмечены точки D и E на одной стороне и F и G на другой. Даны AD = 6 см, AE = 10 см, AF = 9 см, AG = 15 см; нужно доказать, что DF параллельна EG. Сравним расстояния до точек, соединённых попарно: D с F и E с G. Если отношения расстояний от вершины совпадают, можно воспользоваться обратным рассуждением через подобие.
Ответ: DF параллельна EG. В доказательстве использованы соответствующие расстояния от вершины A, а не сами отрезки DF и EG. Равенство отношений подтверждает нужное соответствие сторон треугольников.
Ошибка — составлять пропорцию из отрезков, которые не соответствуют друг другу. Так бывает, когда сравнивают расстояние от вершины до точки на одной стороне с промежутком между параллельными прямыми на другой. Перед записью отношений назовите точки, которыми ограничен каждый отрезок, и сопоставьте части одного положения.
Можно спутать отрезок от вершины до дальней параллельной прямой с промежутком между двумя параллельными. Например, AD₂ включает часть стороны от A до D₂, а D₁D₂ начинается только у первой прямой. Ошибка возникает, если ориентироваться на расположение «дальше», а не на концы отрезка. Проверьте его границы по обозначениям.
Неверная пропорция получается, если сравнить ближний к вершине отрезок на одной стороне с дальним на другой, а затем записать остальные в обратном порядке. В таком случае отношения уже не описывают соответствующие части, даже если все длины указаны верно. Расставьте отрезки в одинаковом порядке: сначала ближние к вершине, затем дальние.
Не следует считать отрезки пропорциональными только потому, что их длины кажутся похожими. Равенство отношений нужно проверить вычислением или обосновать теоремой, если выполнено условие о параллельности. Для самопроверки перемножьте крайние и средние члены пропорции: произведения должны быть равны. Все длины в одном отношении предварительно переведите в одинаковые единицы.
Для работы с пропорциональными отрезками нужно уметь находить отношения длин и решать пропорции. Также пригодится свойство параллельных прямых: накрест лежащие углы равны, поэтому можно объяснить подобие треугольников. Эти знания соединяют вычисления с геометрическим доказательством.
Теорема о пропорциональных отрезках будет полезна при изучении подобия треугольников, нахождении неизвестных сторон и доказательстве параллельности прямых. Её смысл применим не только в задачах с углом: в треугольнике прямая, параллельная одной стороне, пересекает две другие стороны и создаёт такую же конфигурацию. Поэтому важно уметь распознавать соответствующие отрезки.
Что значит, что отрезки пропорциональны?
Это значит, что отношения их длин равны. Например, отрезки длиной 6 см и 10 см пропорциональны отрезкам длиной 9 см и 15 см, потому что 6/10 = 9/15.
Какие именно отрезки нужно сравнивать на сторонах угла?
Сравнивают отрезки, ограниченные соответствующими точками на двух сторонах угла. Например, расстояние от вершины до первой параллельной прямой на одной стороне сопоставляют с таким же расстоянием до первой прямой на другой стороне.
Почему параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки?
Стороны угла и параллельные прямые образуют треугольники с равными соответствующими углами. Поэтому эти треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон у подобных треугольников равны.
Как найти неизвестный отрезок с помощью этой теоремы?
Запишите равенство отношений соответствующих отрезков и подставьте известные длины. Затем решите получившуюся пропорцию, не забывая указывать единицы измерения.
Можно ли по пропорциональности отрезков доказать, что прямые параллельны?
Да, если пропорциональны соответствующие отрезки, отложенные от вершины угла на его сторонах. Тогда обратное рассуждение через подобие треугольников позволяет доказать, что соединяющие соответствующие точки прямые параллельны.
56. Пропорциональные отрезки
