57. Определение подобных треугольников

Определения и обозначения

Подобными называют треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональны — значит, отношения длин каждой пары соответствующих сторон одинаковы. Например, если △ABC ∼ △A₁B₁C₁, то ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, а AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. Это определение позволяет сравнивать треугольники одинаковой формы, даже если один больше другого.

Соответствующими называют вершины, углы и стороны, которые занимают одинаковые места при сопоставлении треугольников. В записи △ABC ∼ △A₁B₁C₁ порядок букв показывает пары вершин: A и A₁, B и B₁, C и C₁. Поэтому углу A соответствует угол A₁, а стороне AB — сторона A₁B₁. Такое обозначение нужно, чтобы правильно составлять пропорции и не соединять элементы, которые не соответствуют друг другу.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон, записанное в выбранном порядке сравнения. Если сравниваем второй треугольник с первым, можно взять k = A₁B₁/AB; тогда соответствующие стороны второго треугольника в k раз больше. При сравнении первого со вторым отношение будет обратным, поэтому коэффициент станет 1/k. Указывай порядок сравнения, чтобы было ясно, какое именно отношение используется.

Как это устроено

В записи △ABC ∼ △A₁B₁C₁ одинаковое положение букв задаёт пары вершин: A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Углы при этих вершинах тоже соответствуют друг другу. Сторона определяется парой своих концов, поэтому AB соответствует A₁B₁, BC — B₁C₁, а AC — A₁C₁. Сопоставление по буквам надёжнее, чем попытка определить пары только по виду рисунка.

Равенство соответствующих углов означает, что треугольники имеют одну и ту же форму: при сравнении углов их вершины устроены одинаково. Однако одна форма ещё не описывает размеры фигуры, поэтому определение включает и пропорциональность сторон. Если все соответствующие стороны увеличены в одинаковое число раз, треугольник меняет масштаб, но сохраняет форму. Именно поэтому оба условия используются вместе.

Пропорциональность соответствующих сторон записывают, например, так: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. Можно записать все отношения наоборот, но во всех дробях порядок должен быть одинаковым. Если в одной дроби поставить сторону первого треугольника в числитель, а в другой — сторону второго, равенство отношений обычно нарушится. Перед вычислениями проверь, что в каждой дроби сопоставлены соответствующие стороны.

Коэффициент подобия связывает длины сторон: если k = A₁B₁/AB, то A₁B₁ = k · AB, B₁C₁ = k · BC и A₁C₁ = k · AC. Достаточно найти отношение одной пары соответствующих сторон, а затем применить его к другим парам. Если поменять порядок сравнения, вместо k получится AB/A₁B₁ = 1/k. Поэтому коэффициент нельзя переносить из одной записи в другую, не проверив порядок треугольников.

Одного равенства углов или одной пары пропорциональных сторон недостаточно, чтобы установить подобие непосредственно по определению. Нужно проверить равенство всех соответствующих углов и одинаковое отношение всех соответствующих сторон. В задачах могут применяться отдельные признаки подобия, но это уже другие утверждения, которые требуют своих условий. Здесь мы опираемся именно на определение и не заменяем его неполной проверкой.

Соответствие элементов подобных треугольников

Сначала найди соответствующие вершины по порядку записи, а затем сопоставь углы и стороны. В строке с отношениями следи, чтобы во всех дробях порядок был одним и тем же. Последняя строка показывает коэффициент именно второго треугольника к первому; при обратном сравнении отношение переворачивается.

Разбор задач

Достаточно ли одного равного угла?

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ вершины соответствуют в указанном порядке, а углы A и A₁ равны. Нужно определить, можно ли на этом основании заключить, что треугольники подобны. Используем данное определение и проверим, какие сведения в условии есть, а каких не хватает.

1. По порядку вершин углу A соответствует угол A₁, поэтому равенство ∠A = ∠A₁ подтверждает лишь одно требуемое равенство углов. О равенстве двух остальных пар углов в условии ничего не сказано. Нельзя считать их равными без дополнительного обоснования.
2. Для подобия по определению также требуется пропорциональность трёх пар соответствующих сторон. Длины сторон или отношения сторон не даны, значит, это условие проверить невозможно. Одно равенство углов не устанавливает все требования определения.

Ответ: заключить о подобии по приведённым данным нельзя. Для проверки по определению нужны сведения обо всех соответствующих углах и сторонах.

Проверка пропорциональности и коэффициент

В треугольниках ABC и DEF соответствуют A и D, B и E, C и F. Даны AB = 4, BC = 6, AC = 8, DE = 6, EF = 9, DF = 12. Требуется проверить подобие и найти коэффициент второго треугольника к первому, поэтому будем делить длины DEF на длины соответствующих сторон ABC.

1. Сопоставим стороны по парам вершин: AB ↔ DE, BC ↔ EF, AC ↔ DF. Это даёт отношения DE/AB = 6/4, EF/BC = 9/6, DF/AC = 12/8. Каждое из них равно 3/2.
2. Все три отношения одинаковы, значит, соответствующие стороны пропорциональны. Условие о равенстве соответствующих углов также входит в определение; в данных задачи его отдельно не сообщают, поэтому строго по одному лишь перечню длин заключать о подобии по определению нельзя. Если задача предполагает, что треугольники проверяются по данному условию подобия и требуется проверить пропорции, коэффициент сторон равен 3/2.
3. По заданному порядку «второй к первому» коэффициент вычисляется как сторона DEF, делённая на соответствующую сторону ABC: k = DE/AB = 6/4 = 3/2. Значит, длины сторон второго треугольника в полтора раза больше соответствующих длин первого. При обратном порядке коэффициент был бы 2/3.

Ответ: отношения соответствующих сторон равны 3/2; коэффициент сторон второго треугольника к первому равен 3/2. Чтобы утверждать подобие именно по определению, необходимо также знать равенство соответствующих углов.

Нахождение неизвестных сторон

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, вершины записаны в порядке соответствия. Известно, что AB = 5, BC = 7, AC = 9, а A₁B₁ = 15. Найдём стороны B₁C₁ и A₁C₁, используя один и тот же коэффициент для всех соответствующих сторон. Сначала определим, во сколько раз второй треугольник больше первого.

1. Стороне AB соответствует A₁B₁, поэтому коэффициент второго к первому равен k = A₁B₁/AB = 15/5 = 3. Это означает, что каждая сторона второго треугольника в три раза больше соответствующей стороны первого.
2. Стороне BC соответствует B₁C₁. Умножаем BC на коэффициент: B₁C₁ = 7 · 3 = 21. Проверяем соответствие: у обеих сторон концы — вторая и третья вершины каждой записи.
3. Стороне AC соответствует A₁C₁. Поэтому A₁C₁ = 9 · 3 = 27. Использование того же коэффициента обязательно, потому что все соответствующие стороны подобных треугольников изменяются в одном масштабе.

Ответ: B₁C₁ = 21, A₁C₁ = 27.

Типичные ошибки

Стороны иногда сопоставляют по тому, как они расположены на рисунке: например, считают соответствующими «верхние» стороны. Но рисунок может быть перевёрнут или треугольники могут быть повернуты, поэтому такое сравнение ненадёжно. Сначала сверь порядок вершин, затем найди стороны по их концам. Для △ABC ∼ △A₁B₁C₁ сторона AB соответствует только A₁B₁.

Другая ошибка — записывать равенство соответствующих сторон вместо пропорциональности. При подобии стороны могут иметь разную длину: равны углы и отношения сторон, а не обязательно сами стороны. Ошибку легко заметить, если сравнить хотя бы одну пару длин: например, 5 и 15 не равны, хотя их отношение определено. Проверь, использовано ли общее отношение, а не равенство длин.

Нельзя считать, что одного равного угла или одной пропорциональной пары сторон достаточно для подобия по определению. Такие данные подтверждают только часть необходимых условий, поэтому вывод может оказаться необоснованным. Перед ответом перечисли, что именно проверено: равенства углов и отношения всех соответствующих сторон. Если условие задачи опирается на отдельный признак подобия, пользуйся им только при выполнении его условий.

При смене порядка сравнения коэффициент становится обратным, но его иногда оставляют прежним. Например, если второй треугольник в три раза больше первого, коэффициент второго к первому равен 3, а первого ко второму — 1/3. Чтобы проверить себя, подпиши словами числитель и знаменатель: длина какого треугольника стоит сверху? Это сразу показывает, правильно ли выбран коэффициент.

Связь с другими темами

Для работы с подобием понадобятся обозначения треугольников, знания о равенстве углов и умение составлять пропорции. Без порядка вершин легко перепутать соответствующие стороны, а без правил работы с отношениями — получить неверный коэффициент. Поэтому перед решением полезно записать пары вершин и сторон отдельно. Так можно связать геометрическую картинку с вычислениями.

Дальше понятие подобия используется при изучении признаков подобия треугольников: они помогают доказать подобие, не проверяя каждый элемент по определению. Оно также пригодится в задачах на пропорциональные отрезки и масштабирование. Если известен коэффициент, можно находить неизвестные длины и сравнивать фигуры разных размеров. Так определение становится основой для новых способов решения задач.

Что запомнить

• В подобных треугольниках соответствующие углы равны.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Порядок вершин в записи подобия задаёт соответствие элементов.
• Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон.
• При обратном порядке сравнения треугольников коэффициент обратный.
• Для проверки подобия сопоставляй только соответствующие элементы.