§ 1. Определение подобных треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, у них совпадает форма, хотя размеры могут быть разными. Это определение позволяет понять, какие свойства можно использовать при сравнении треугольников и вычислении длин.

Соответствующие вершины — вершины двух треугольников, сопоставленные друг другу при записи подобия; им соответствуют равные углы. Например, в записи △ABC ∼ △A₁B₁C₁ вершине A соответствует A₁. Такое сопоставление нужно, чтобы не перепутать углы и стороны при составлении равенств и пропорций.

Соответствующие стороны — стороны двух треугольников, лежащие напротив соответствующих вершин; их длины пропорциональны. Если A соответствует A₁, а B — B₁, то стороне AB соответствует A₁B₁. Это правило помогает установить пары сторон даже тогда, когда треугольники на чертеже повернуты или выглядят по-разному.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников. Например, для записи △ABC ∼ △A₁B₁C₁ можно взять отношение AB/A₁B₁. Порядок треугольников здесь важен: если поменять их местами, отношение станет обратным, поэтому коэффициент всегда указывают вместе с направлением сравнения.

Как это устроено

Запись △ABC ∼ △A₁B₁C₁ сообщает соответствие не только самих треугольников, но и их вершин: A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Это следует из порядка букв: первая вершина одного треугольника сопоставлена первой вершине другого, вторая — второй, третья — третьей. Благодаря такому соглашению достаточно прочитать запись, чтобы определить нужные пары углов и сторон. Если изменить порядок букв, соответствие тоже изменится.

Определение подобия включает два условия: все пары соответствующих углов равны, а все пары соответствующих сторон пропорциональны. Первое условие говорит, что углы при соответствующих вершинах имеют одинаковую величину. Второе означает, что при делении длин соответствующих сторон получаются одинаковые отношения. Нужны оба условия, потому что равенство углов описывает форму, а пропорции сторон показывают согласованное изменение размеров.

Из порядка вершин можно сразу выписать пары элементов. Для △ABC ∼ △A₁B₁C₁ равны углы A и A₁, B и B₁, C и C₁; сторонам AB, BC, CA соответствуют стороны A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁. Сторона AB лежит напротив вершины C, а A₁B₁ — напротив C₁, поэтому эти стороны оказываются парой. Такой способ надёжнее, чем ориентироваться на то, где именно треугольники нарисованы.

Отношения соответствующих сторон равны: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁. Общее значение этих отношений — коэффициент подобия для записи от △ABC к △A₁B₁C₁. Например, если стороны первого треугольника вдвое меньше соответствующих сторон второго, все отношения в этой записи равны ½. При записи в обратном порядке получится 2, потому что числитель и знаменатель меняются местами.

Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами: один можно представить увеличенной или уменьшенной копией другого. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз отличаются соответствующие длины при выбранном порядке треугольников. Если коэффициент равен 1, длины соответствующих сторон равны. Тогда треугольники совпадают по размерам, а равные соответствующие углы подтверждают, что совпадает и их форма.

Соответствие элементов подобных треугольников

Сначала найди в таблице соответствие вершин, а затем по нему сопоставь углы и стороны. Все отношения длин должны быть записаны в одном порядке: здесь длина стороны △ABC делится на соответствующую длину стороны △A₁B₁C₁. Поэтому для обратной записи треугольников коэффициент будет обратным.

Разбор задач

Задача 1. В △ABC и △DEF углы A и D, B и E, C и F попарно равны. Запишите подобие треугольников и укажите соответствующие стороны. Сначала свяжем вершины по равным углам: A с D, B с E, C с F. Затем сохраним эту очередность в записи и по ней определим пары сторон.

1. Углу A соответствует угол D, углу B — угол E, углу C — угол F.
2. Записываем вершины в найденном порядке: △ABC ∼ △DEF.
3. Сторона AB соответствует DE, сторона BC — EF, сторона CA — FD.

Ответ: △ABC ∼ △DEF; соответствующие стороны — AB и DE, BC и EF, CA и FD. Пары сторон определяются тем, какие вершины являются их концами, поэтому порядок записи помогает проверить результат.

Задача 2. Даны △ABC ∼ △A₁B₁C₁, AB = 6, A₁B₁ = 9, BC = 8. Найдите коэффициент подобия в указанном порядке и сторону B₁C₁. Поскольку первым записан △ABC, делим его сторону на соответствующую сторону второго треугольника. Сторонам AB и BC соответствуют A₁B₁ и B₁C₁.

1. Находим коэффициент: k = AB/A₁B₁ = 6/9 = ⅔.
2. Записываем пропорцию для стороны BC: BC/B₁C₁ = ⅔.
3. Подставляем BC = 8: 8/B₁C₁ = ⅔, откуда B₁C₁ = 8 · 3/2 = 12.

Ответ: коэффициент подобия в указанном порядке равен ⅔, B₁C₁ = 12. Проверка: сторона второго треугольника длиннее соответствующей стороны первого, поэтому отношение 8/12 действительно меньше единицы.

Задача 3. Стороны двух треугольников равны 4, 6, 8 и 6, 9, 12. Определите, подобны ли треугольники, и найдите коэффициент при записи от первого ко второму. Сопоставим стороны по возрастанию: 4 с 6, 6 с 9, 8 с 12. Если три отношения совпадают, длины сторон пропорциональны.

1. Вычисляем отношения сторон первого треугольника ко второму: 4/6 = ⅔, 6/9 = ⅔, 8/12 = ⅔.
2. Все три отношения равны, поэтому стороны пропорциональны с коэффициентом ⅔.
3. При расположении соответствующих сторон напротив соответствующих вершин углы также совпадают; треугольники подобны.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент от первого ко второму равен ⅔. Во втором треугольнике каждая соответствующая сторона в 3/2 раза длиннее, что согласуется с найденным отношением.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сопоставлять вершины только по их положению на рисунке. Так делают, потому что часто ожидают увидеть треугольники ориентированными одинаково, но чертёж может быть повернут или выполнен произвольно. Проверяй соответствие по равным углам и порядку записи подобия. После этого убедись, что сторона соединяет именно две сопоставленные вершины.

Вторая ошибка — считать треугольники подобными только по пропорциональности двух пар сторон. Можно решить, что совпадения нескольких отношений достаточно, но определение требует пропорциональности всех соответствующих сторон и равенства соответствующих углов. Не делай вывод о подобии лишь по двум парам длин. Проверь, выполнены ли оба условия определения.

Третья ошибка — записывать отношения в разном порядке, например AB/A₁B₁ и B₁C₁/BC. Такие дроби сравнивают направления «первый ко второму» и «второй к первому», поэтому они обычно обратны. Перед вычислением выпиши пары сторон и придерживайся одного порядка во всех дробях. Если отношения получились разными, проверь, не перевернута ли одна из них.

Четвёртая ошибка — называть коэффициентом подобия любое отношение сторон, не уточняя порядок треугольников. Одну и ту же пару длин можно разделить в двух направлениях, поэтому числа будут обратными. Указывай, для какой записи найден коэффициент, и дели стороны именно в этом порядке. Для самопроверки поменяй треугольники местами: новое отношение должно быть обратным прежнему.

Связь с другими темами

Для работы с подобными треугольниками нужно знать обозначения треугольника, свойства углов и понятие пропорции. Сначала определение помогает находить соответствующие элементы, а позднее признаки подобия позволят устанавливать подобие по данным задачи. После этого пропорции сторон используют для вычисления неизвестных длин. Тот же принцип полезен при работе с масштабными чертежами, планами и моделями: по известному размеру можно оценить реальное расстояние или длину.

Что запомнить

• У подобных треугольников равны соответствующие углы.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Порядок вершин в записи подобия задаёт соответствие.
• Отношения всех соответствующих сторон одинаковы.
• Коэффициент подобия зависит от порядка треугольников.
• При коэффициенте подобия 1 соответствующие стороны равны.