"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. Связь между их сторонами и площадями помогает находить неизвестную площадь, даже если известна только одна пара соответствующих сторон. Главное правило: отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. Поэтому, если стороны увеличились в несколько раз, площадь изменится сильнее — в квадрат этого числа. А по отношению площадей можно найти отношение сторон, извлекая квадратный корень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, запись ABC ∼ A′B′C′ означает, что вершины соответствуют по порядку: A — A′, B — B′, C — C′. Это обозначение помогает не перепутать, какие стороны и углы сравнивать.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон подобных треугольников. Для записи ABC ∼ A′B′C′ можно взять k = AB/A′B′. Если поменять треугольники местами, получится обратное отношение A′B′/AB, поэтому значение коэффициента зависит от выбранного порядка.
Площадь треугольника — величина, которая показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Её вычисляют по формуле S = ½ah, где a — выбранное основание, а h — высота, проведённая к этому основанию. Формула нужна, чтобы сравнивать площади через длины сторон и высот.
Отношение площадей подобных треугольников — частное их площадей, например SABC/SA′B′C′. Оно связано с коэффициентом подобия, но не равно ему: площадь зависит сразу от двух линейных размеров. Эта связь позволяет находить одну площадь по другой.
У подобных треугольников отношения соответствующих сторон одинаковы. Высоты, проведённые к соответствующим сторонам, подчиняются тому же отношению: например, высота к AB соответствует высоте к A′B′. Причина в том, что вместе со сторонами эти высоты образуют прямоугольные треугольники с одинаковыми острыми углами. Такие прямоугольные треугольники подобны, а значит, их соответствующие стороны, в том числе высоты, пропорциональны.
Чтобы сравнить площади, выберем соответствующие основания a₁ и a₂ и высоты h₁ и h₂, проведённые к ним. Тогда S₁ = ½a₁h₁, а S₂ = ½a₂h₂. Основания и высоты здесь должны быть взяты у соответствующих треугольников: только в этом случае их отношения связаны одним коэффициентом подобия.
Подставим выражения для площадей в дробь S₁/S₂. Получим (½a₁h₁)/(½a₂h₂), и общий множитель ½ сократится. Оставшееся выражение можно представить как (a₁/a₂) · (h₁/h₂). Каждое из этих отношений равно коэффициенту подобия k, поэтому отношение площадей составляет k · k.
Так получается теорема: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть квадрату отношения соответствующих сторон. Если k = a₁/a₂, то S₁/S₂ = k². Квадрат появляется потому, что при сравнении площадей перемножаются два размера — основание и высота, и каждый меняется в k раз.
Теорему можно применять и в обратную сторону. Если известно, что S₁/S₂ = q, то для отношения сторон нужно решить уравнение k² = q, откуда k = √q. Берут положительный корень, потому что длины сторон положительны. Перед вычислением проверьте, в каком порядке записаны площади: коэффициент сторон должен относиться к тем же двум треугольникам.
| Величина | Треугольник ABC | Треугольник A′B′C′ | Связь |
|---|---|---|---|
| Соответствующие стороны | AB, BC, CA | A′B′, B′C′, C′A′ | AB/A′B′ = BC/B′C′ = CA/C′A′ = k |
| Коэффициент подобия | Первый треугольник | Второй треугольник | k = AB/A′B′; порядок важен |
| Соответствующие высоты | h₁ к AB | h₂ к A′B′ | h₁/h₂ = k |
| Отношение площадей SABC/SA′B′C′ | SABC | SA′B′C′ | SABC/SA′B′C′ = k² |
| Связь отношения площадей с коэффициентом подобия | k = AB/A′B′ | q = SABC/SA′B′C′ | q = k², k = √q |
Сначала найдите в таблице нужную величину и проверьте, в каком порядке записаны треугольники. Если известно отношение сторон, для площадей используйте квадрат; если известно отношение площадей, извлеките корень. Обратный порядок меняет отношения на обратные.
Даны два подобных треугольника: соответствующая сторона первого равна 3 см, второго — 6 см. Требуется найти отношение площадей именно в этом порядке: площадь первого к площади второго. Порядок важен, поэтому коэффициент запишем так же — сначала сторона первого, затем второго.
Ответ: S₁:S₂ = 1:4.
Площади подобных треугольников относятся как 25:49. Нужно найти отношение их соответствующих сторон в том же порядке: сначала сторона треугольника с площадью 25 частей, затем сторона треугольника с площадью 49 частей. Поскольку площади связаны с квадратом коэффициента, отношение сторон найдём корнем.
Ответ: соответствующие стороны относятся как 5:7.
Периметр меньшего треугольника равен 18 см, большего — 30 см, площадь меньшего составляет 27 см². Нужно найти площадь большего. У подобных треугольников отношение периметров равно отношению соответствующих сторон: периметр складывается из трёх сторон, каждая из которых изменяется с одним коэффициентом.
Ответ: площадь большего треугольника равна 75 см².
Ошибка — не возвести коэффициент подобия в квадрат. Её допускают, когда переносят отношение сторон на площади, забывая, что площадь зависит и от основания, и от высоты. Для проверки запишите S = ½ah и убедитесь, что оба размера изменяются в k раз, а значит, произведение — в k² раз.
Можно перепутать порядок треугольников в отношении. Тогда коэффициент окажется обратным: вместо S₁/S₂ запишут S₂/S₁, хотя числа могут выглядеть правдоподобно. Подписывайте индексы у сторон и площадей и проверяйте, что в числителе и знаменателе стоят величины одного и того же треугольника.
Некоторые считают, что отношение площадей равно отношению соответствующих сторон. Причина ошибки — смешение коэффициента подобия и правила для площадей. Проверка простая: при увеличении стороны в 3 раза площадь становится больше в 9 раз, поэтому отношения не совпадают.
При переходе от площадей к сторонам иногда забывают извлечь квадратный корень или выбирают отрицательный корень. Нужно сначала записать k² = S₁/S₂, а затем найти k = √(S₁/S₂). Отрицательный ответ не подходит, потому что длина стороны положительна.
Для работы с отношением площадей нужно уметь устанавливать подобие треугольников, находить соответствующие вершины и стороны и пользоваться формулой S = ½ah. Без правильного соответствия нельзя составить верное отношение и выбрать нужный коэффициент. Полезно также помнить, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сторон.
Теорема помогает находить площади и неизвестные стороны в задачах на подобие. Она применима, когда размеры фигур связаны коэффициентом, но сами площади непосредственно не даны. То же рассуждение подготавливает к изучению отношений площадей многоугольников.
Почему отношение площадей подобных треугольников возводится в квадрат?
Площадь равна половине произведения основания на высоту. У подобных треугольников и основание, и соответствующая высота изменяются в одинаковое число раз, поэтому множитель повторяется дважды.
Как найти коэффициент подобия по отношению площадей?
Нужно извлечь квадратный корень из отношения площадей. Например, если площади относятся как 25:49, соответствующие стороны относятся как 5:7.
Можно ли найти отношение площадей, зная только одну пару соответствующих сторон?
Да, если треугольники подобны. Сначала найдите отношение этой пары сторон, затем возведите его в квадрат.
Как не перепутать порядок треугольников в отношении?
Записывайте треугольники в одном и том же порядке во всех отношениях: сначала стороны и площадь первого, затем второго. Если поменять треугольники местами, каждое отношение станет обратным.
Отношение периметров подобных треугольников тоже возводится в квадрат?
Нет. Отношение периметров равно отношению соответствующих сторон, то есть коэффициенту подобия. В квадрат возводят этот коэффициент, когда находят отношение площадей.
58. Отношение площадей подобных треугольников
