§ 2. Признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, запись ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ означает, что вершины A и A₁, B и B₁, C и C₁ соответствуют друг другу. Поэтому сторонам AB, BC и AC соответствуют A₁B₁, B₁C₁ и A₁C₁. Такое обозначение помогает не перепутать элементы при доказательстве и вычислениях.

Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Например, равенства ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁ уже достаточно для вывода ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁. Третья пара углов тоже окажется равной, а стороны будут пропорциональны. Признак позволяет доказать подобие, не измеряя стороны.

Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. Например, для сторон AB и AC соответствующий угол — ∠A, потому что именно эти стороны его образуют. Этот признак нужен, когда известны две стороны и угол между ними, но не все углы или стороны треугольников.

Третий признак подобия треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны. Нужно составить три отношения для пар соответствующих сторон и убедиться, что они равны. Например, AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. Тогда отдельное сравнение углов для доказательства не требуется.

Как это устроено

У первого признака есть простое объяснение. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому третий угол можно найти, вычитая из 180° сумму двух остальных. Если две пары углов равны, то и суммы этих пар одинаковы, а значит, равны и оставшиеся углы. Получается равенство всех соответствующих углов; вместе с этим выполняется и пропорциональность соответствующих сторон, то есть определение подобия.

Во втором признаке пропорциональные стороны задают одинаковое отношение двух сторон, а равный угол между ними сохраняет их взаимное расположение. Поэтому один треугольник можно получить из другого увеличением или уменьшением сторон в одинаковое число раз, не меняя угол между ними. Важно сравнивать именно угол, образованный этими сторонами: другой угол не задаёт их взаимное положение. Если угол не заключён между пропорциональными сторонами, оснований применить этот признак нет.

Третий признак работает потому, что все три стороны определяют форму треугольника. Если каждой стороне первого треугольника соответствует сторона второго, увеличенная или уменьшенная в одно и то же число раз, то меняется только размер, а не форма. Это общее отношение сторон называют коэффициентом подобия. Поэтому пропорциональности трёх пар сторон достаточно, чтобы заключить, что треугольники подобны.

Соответствие вершин читают по порядку записи: в ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ первая вершина сопоставляется первой, вторая — второй, третья — третьей. Тогда ∠A соответствует ∠A₁, а сторона BC — B₁C₁, потому что обе стороны соединяют вторую и третью соответствующие вершины. По этому правилу составляют равенства углов и отношения сторон. Если переставить вершины, изменится соответствие и можно получить неверные пропорции.

Чтобы выбрать признак, сначала отдели данные задачи от того, что требуется доказать. Две пары равных углов указывают на первый признак; две пары пропорциональных сторон вместе с равным углом между ними — на второй. Если даны отношения всех трёх пар сторон, проверяй третий признак. В каждом случае сначала убедись, что элементы сопоставлены правильно, и только потом делай вывод о подобии.

Признаки подобия треугольников

Пользуйся таблицей как проверкой: найди в условии задачи нужный набор данных. Затем проверь соответствие вершин и элементов. Если все условия выбранного признака выполнены, можно записать вывод о подобии.

Разбор задач

Доказательство по двум углам

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны, углы B и B₁ равны. Докажем, что треугольники подобны. Здесь даны две пары соответствующих углов, поэтому сначала проверим именно условие первого признака.

1. По условию ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Порядок букв показывает соответствие A ↔ A₁ и B ↔ B₁.
2. В каждом треугольнике сумма углов равна 180°. Поэтому ∠C = 180° − ∠A − ∠B, а ∠C₁ = 180° − ∠A₁ − ∠B₁; из равенства первых двух пар следует ∠C = ∠C₁.
3. Получены две пары равных углов, значит, по первому признаку треугольники подобны. Порядок соответствия вершин — ABC и A₁B₁C₁.

Ответ: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ по первому признаку подобия.

Доказательство по двум сторонам и углу между ними

Известно, что AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Нужно доказать подобие треугольников ABC и A₁B₁C₁. Для второго признака мало увидеть пропорциональность сторон: надо проверить, что равные углы образованы именно этими сторонами.

1. Стороны AB и AC сходятся в вершине A, поэтому угол между ними — ∠A. Стороны A₁B₁ и A₁C₁ сходятся в A₁, и угол между ними — ∠A₁.
2. По условию отношения соответствующих сторон AB/A₁B₁ и AC/A₁C₁ равны, а углы между этими сторонами равны: ∠A = ∠A₁.
3. Все условия второго признака выполнены. Следовательно, треугольники подобны, причём вершины соответствуют в порядке записи.

Ответ: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ по второму признаку подобия.

Проверка пропорциональности трёх сторон

Стороны одного треугольника равны 4, 6 и 8, а стороны другого — 6, 9 и 12. Установим, подобны ли треугольники, и найдём коэффициент подобия. Так как буквенных обозначений нет, сопоставим стороны по возрастанию.

1. Составим отношения соответствующих сторон: 4/6 = 2/3, 6/9 = 2/3 и 8/12 = 2/3. Все три отношения одинаковы.
2. Значит, стороны пропорциональны попарно, и выполняется условие третьего признака. Треугольники подобны.
3. Если коэффициентом считать отношение стороны первого треугольника к соответствующей стороне второго, он равен 2/3. При обратном порядке отношения коэффициент равен 3/2.

Ответ: треугольники подобны по третьему признаку; отношение сторон первого ко второму равно 2/3.

Типичные ошибки

Неверно сопоставлять стороны. Если не учитывать порядок вершин в записи подобия, можно сравнить стороны, которые не соответствуют друг другу. Такую ошибку допускают, когда составляют пропорции на глаз и не проверяют концы сторон. Перед вычислениями запиши пары соответствующих вершин и сторон.

Применять второй признак без угла между сторонами. Равенство углов может относиться к углу, который не образован пропорциональными сторонами. Ученик видит две пропорции и равный угол, но забывает проверить их расположение. Назови обе стороны и определи их общую вершину: угол при ней и должен быть равным.

Считать одного равного угла достаточным для первого признака. Один угол сам по себе не определяет форму треугольника: при нём возможны разные значения остальных углов. Иногда этот угол принимают за достаточное условие, потому что он указан в задаче особенно заметно. Проверь, есть ли равенство ещё одной пары соответствующих углов.

Записывать пропорции в разном порядке. Например, отношение стороны первого треугольника ко второму нельзя напрямую приравнивать к отношению стороны второго к первому. Путаница возникает, когда стороны перечисляют без привязки к соответствующим вершинам. Запиши все дроби в одном порядке и проверь, что они относятся к соответствующим сторонам.

Связь с другими темами

Для первого признака нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°: это позволяет найти третий угол по двум известным. Для второго и третьего признаков пригодится умение находить отношения величин и проверять пропорциональность отрезков. Позже признаки помогут вычислять неизвестные стороны и углы, а также обосновывать подобие при решении геометрических задач.

Что запомнить

• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
• Два равных угла дают первый признак подобия.
• Для второго признака нужны две пропорциональные стороны и равный угол между ними.
• Для третьего признака достаточно пропорциональности трёх пар соответствующих сторон.
• Порядок вершин в записи подобия задаёт соответствие углов и сторон.
• Перед применением признака проверь, что сравниваются именно соответствующие элементы.