§ 26. Признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Равенство углов означает одинаковую форму: углы при сопоставленных вершинах имеют одну и ту же величину. Пропорциональность сторон означает, что отношения соответствующих длин одинаковы. Вместе эти условия показывают, что один треугольник можно получить из другого изменением масштаба.

Соответствующие вершины и стороны — пары элементов двух треугольников, которые сопоставляются при подобии. В записи ABC и A₁B₁C₁ обычно соответствуют вершины A и A₁, B и B₁, C и C₁, а значит, стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁. Порядок букв помогает не перепутать пары при составлении отношений. Это нужно, чтобы сравнивать именно те стороны, которые занимают одинаковое положение.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон одного треугольника к сторонам другого. Если сравниваем ABC с A₁B₁C₁ в направлении от первого к второму, удобно записать k = A₁B₁/AB = B₁C₁/BC = A₁C₁/AC. При обратном направлении получим коэффициент 1/k. Поэтому при вычислении нужно прямо указать, какой треугольник считается первым и на какой делят.

Признак подобия треугольников — достаточное условие, позволяющее установить подобие без отдельной проверки всех равенств углов и отношений сторон. Достаточное значит, что найденных данных уже хватает для вывода. Таких признаков три: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, а также по трём сторонам. Выбирают тот признак, для которого известны нужные данные.

Как это устроено

Одних равных углов или одних равных сторон недостаточно, чтобы объявить любые два треугольника подобными. Равные углы дают одинаковую форму, но размер треугольников может быть разным, поэтому нужны пропорциональные стороны. Равные стороны, наоборот, не всегда показывают, как именно стороны расположены друг относительно друга: при изменении угла между ними меняется форма. Подобие требует одновременно одной формы и согласованного масштаба.

Первый признак гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны. Третьи углы также равны, потому что сумма углов любого треугольника составляет 180°. Значит, все три угла совпадают попарно, а форма треугольников одинакова. Из геометрического свойства треугольников следует, что при такой форме соответствующие стороны пропорциональны, поэтому выполнено определение подобия.

По второму признаку треугольники подобны, если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны. Угол между сторонами задаёт, насколько они «раскрыты», и тем самым влияет на форму треугольника. Если сравнить сторонные пары, но взять угол при другой вершине, данные уже не описывают взаимное положение именно этих сторон. Поэтому перед применением признака проверь, что равные углы заключены между выбранными пропорциональными сторонами.

Третий признак: если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны. Отношения всех трёх пар сторон должны совпасть, а не только двух. Три длины определяют форму треугольника с точностью до масштаба: при пропорциональном увеличении или уменьшении меняется размер, но не форма. Поэтому равенство соответствующих углов и подобие следуют из пропорциональности сторон.

При решении сначала установи, какие вершины соответствуют друг другу, чтобы верно сопоставить стороны и углы. Затем выбери признак, для которого в условии есть все необходимые данные, и проверь его. Только после этого записывай подобие треугольников в согласованном порядке вершин. Если нужно найти длину, составь пропорцию из соответствующих сторон; направление отношений во всех частях должно быть одинаковым.

Три признака подобия треугольников

Сначала посмотри на условие задачи и найди, какие данные в нём известны. Затем выбери строку таблицы, условия которой полностью выполнены: например, для второго признака нужны и пропорциональные стороны, и равный угол между ними. Не используй вывод таблицы, если хотя бы одна часть условия не проверена.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны 42°, углы B и B₁ равны 68°. Докажем подобие. Даны две пары равных соответствующих углов, поэтому для доказательства подходит первый признак.

1. По сумме углов треугольника ∠C = 180° − 42° − 68° = 70°. В другом треугольнике ∠C₁ = 180° − 42° − 68° = 70°. Значит, третьи углы тоже равны.
2. Углы A и A₁, а также B и B₁ соответственно равны. Уже этих двух пар достаточно по первому признаку, поэтому проверка третьих углов лишь подтверждает соответствие.
3. Записываем подобие в порядке соответствующих вершин: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Ответ: треугольники подобны по первому признаку.

Задача 2

В ABC даны AB = 4 см, AC = 6 см, ∠A = 60°. В A₁B₁C₁ даны A₁B₁ = 6 см, A₁C₁ = 9 см, ∠A₁ = 60°. Нужно доказать подобие и найти коэффициент от ABC к A₁B₁C₁. Сравним стороны, заключающие равные углы: именно для них требуется пропорциональность по второму признаку.

1. Сопоставляем AB с A₁B₁ и AC с A₁C₁. Получаем A₁B₁/AB = 6/4 = 1,5 и A₁C₁/AC = 9/6 = 1,5, значит, стороны пропорциональны.
2. Углы между этими сторонами равны: ∠A = ∠A₁ = 60°. Выполнены оба условия второго признака, поэтому △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
3. Коэффициент от ABC к A₁B₁C₁ равен отношению стороны второго треугольника к соответствующей стороне первого: k = 6/4 = 1,5. Ответ: треугольники подобны, коэффициент равен 1,5.

Задача 3

Стороны ABC равны 3 см, 4 см и 5 см, а стороны A₁B₁C₁ — 6 см, 8 см и 10 см. Докажем подобие и найдём периметр второго треугольника, если периметр первого равен 12 см. Сопоставим стороны по возрастанию; в этой задаче пары видны по заданным длинам.

1. Проверяем три отношения: 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2. Все три пары сторон пропорциональны одним и тем же числом, поэтому действует третий признак подобия.
2. Коэффициент от ABC к A₁B₁C₁ равен 2. Периметры подобных фигур изменяются во столько же раз, во сколько соответствующие стороны, значит, периметр второго треугольника равен 12 · 2 = 24 см.
3. Ответ: △ABC ∼ △A₁B₁C₁ по третьему признаку; периметр A₁B₁C₁ равен 24 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать треугольники подобными только потому, что у них равны две стороны. Такие стороны могут образовывать разные углы, и тогда форма треугольников будет различаться. Эту ошибку допускают, принимая совпадение двух длин за достаточное условие. Проверь, есть ли равенство углов между сторонами или пропорциональность третьих сторон.

Ошибка при использовании второго признака — сравнить с пропорциональными сторонами угол, который не заключён между ними. Ученик может заметить равный угол в условии и не проверить, при какой вершине он расположен. Но признак связывает именно угол между выбранной парой сторон с их пропорциональностью. Отметь стороны, отношения которых сравниваешь, и убедись, что обе образуют названный угол.

Неверный порядок соответствующих сторон приводит к неправильным отношениям, например к сравнению AB с A₁C₁ вместо A₁B₁. Обычно так происходит, если стороны сопоставляют только по длинам или переставляют вершины в записи подобия. Сначала обозначь соответствующие вершины, а затем выпиши стороны, соединяющие одинаковые пары вершин. Проверь, что порядок записи треугольников согласован.

Коэффициент подобия иногда путают с обратным числом. Если разделить сторону первого треугольника на сторону второго, получится коэффициент в обратном направлении, а не ошибка в вычислении. Перед делением подпиши, от какого треугольника к какому ищешь коэффициент. Для проверки посмотри, больше или меньше единицы должно получиться число: увеличенному треугольнику соответствует коэффициент больше единицы при выбранном направлении.

Связь с другими темами

Для первого признака нужно знать свойство углов треугольника: их сумма равна 180°. С его помощью находят третий угол, если известны два других, а также подтверждают равенство углов в подобных треугольниках. Это связывает признаки подобия с темой углов и треугольников.

При работе с отношениями сторон понадобятся пропорции: нужно уметь составлять их и находить неизвестный член. Важно сохранять одинаковый порядок соответствующих сторон в каждом отношении. После этого можно вычислить неизвестную длину или коэффициент подобия.

Подобие используют в задачах на пропорциональные отрезки, высоты и расстояния, которые нельзя измерить напрямую. Например, по известным длинам можно вычислить недоступное расстояние, если удаётся построить подобные треугольники. Так геометрические признаки становятся способом решать практические задачи.

Что запомнить

• Для подобных треугольников соответствующие углы равны.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Равенство двух пар соответствующих углов — первый признак подобия.
• Во втором признаке равные углы должны быть заключены между пропорциональными сторонами.
• Пропорциональность всех трёх пар соответствующих сторон — третий признак подобия.
• Перед применением признака установи, какие вершины и стороны соответствуют друг другу.