79. Признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых равны соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими называют элементы, занимающие одинаковое положение в треугольниках. Это понятие позволяет описать одинаковую форму фигур, даже если одна из них больше другой.

Коэффициент подобия — отношение длины стороны одного треугольника к длине соответствующей стороны другого. Для любой пары соответствующих сторон получается одно и то же число, если порядок сравнения не менять. Коэффициент показывает, во сколько раз один треугольник больше или меньше другого, и помогает вычислять неизвестные длины.

Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Углы сравнивают попарно, связывая вершины, которые им соответствуют. Признак удобен, когда известны углы, но длины сторон сравнить нельзя.

Второй и третий признаки подобия треугольников используют стороны. По второму признаку треугольники подобны, если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны. По третьему признаку достаточно пропорциональности всех трёх пар соответствующих сторон; признаки помогают установить подобие без проверки каждого угла.

Как это устроено

Почему в первом признаке хватает двух равных пар углов? Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому третий угол определяется двумя остальными. Если первые два угла в треугольниках равны попарно, то вычитание их сумм из 180° даёт одинаковые третьи углы. Получается равенство всех соответствующих углов, а это часть определения подобных треугольников.

Во втором признаке сравнивают две стороны и угол именно между ними, потому что эти данные задают форму треугольника. Если обе стороны одного треугольника увеличиваются в одинаковое число раз, а угол между ними сохраняется, вершины образуют ту же форму в другом масштабе. Поэтому остальные стороны и углы уже не требуется сравнивать напрямую: их соответствие следует из равенства заключённых углов и пропорциональности сторон.

Для третьего признака нужны три пары пропорциональных сторон: они полностью задают форму треугольника с точностью до размера. Чтобы не перепутать пары, сначала сопоставь вершины по длинам прилегающих сторон или по известному расположению в чертеже. Затем проверь, что отношения сторон образуют один и тот же коэффициент; если пропорции получились при разном сопоставлении, доказательство не подтверждает подобие.

После установления подобия неизвестные стороны находят из общего отношения соответствующих длин. Например, если коэффициент второго треугольника к первому равен k, то каждая его сторона в k раз больше соответствующей стороны первого. Для неизвестной стороны составь равенство «известная сторона второго / соответствующая сторона первого = k» и вырази искомую длину. Периметры также относятся как k, поскольку каждый периметр складывается из трёх сторон, увеличенных в одно и то же число раз.

В задаче с чертежом сначала найди два треугольника, которые можно сравнить, а не пытайся сразу вычислять все отрезки. Отметь равные углы, общие углы, параллельные прямые или известные длины и установи соответствие вершин. Затем выбери признак, для которого как раз хватает найденных данных: две пары углов, две стороны с углом между ними или три стороны. После доказательства подобия переходи к пропорции для нужных сторон.

Признаки подобия треугольников

Выбирай строку по тем данным, которые уже известны, и проверь, что стороны и углы сопоставлены правильно. Когда условия выбранного признака выполнены, можно записать подобие, а затем использовать пропорцию соответствующих сторон.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны 48°, а углы B и B₁ равны 67°. Нужно определить, подобны ли треугольники. Даны две пары соответствующих углов, поэтому проверять стороны для первого признака не требуется.

1. Сопоставим вершины A с A₁ и B с B₁.
2. Углы при этих вершинах равны попарно: 48° = 48° и 67° = 67°.
3. По первому признаку треугольники подобны.

Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Задача 2

Даны AB = 6, AC = 8, A₁B₁ = 9, A₁C₁ = 12 и равные углы A и A₁ между указанными сторонами. Требуется доказать подобие и найти коэффициент второго треугольника к первому. Сначала проверим, что отношения сторон совпадают, а затем применим второй признак.

1. Сопоставляем AB с A₁B₁, а AC с A₁C₁; углы между сторонами равны по условию.
2. Проверяем пропорциональность: 9 / 6 = 1,5 и 12 / 8 = 1,5.
3. Две пары сторон пропорциональны, а заключённые между ними углы равны. По второму признаку треугольники подобны.
4. Коэффициент второго треугольника к первому равен общему отношению: k = 9 / 6 = 1,5.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент второго к первому равен 1,5.

Задача 3

Стороны ABC равны 5, 7 и 8, а соответствующие стороны A₁B₁C₁ — 10, 14 и 16. Периметр первого треугольника равен 20; нужно доказать подобие и найти периметр второго. Слово «соответствующие» задаёт порядок сравнения сторон.

1. Сравниваем три пары: 10 / 5 = 2, 14 / 7 = 2, 16 / 8 = 2.
2. Все соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом 2, поэтому по третьему признаку треугольники подобны.
3. Периметр второго треугольника вдвое больше периметра первого: 20 · 2 = 40.

Ответ: треугольники подобны, периметр A₁B₁C₁ равен 40.

Типичные ошибки

Считать равенство одной пары углов достаточным для подобия — ошибка: один угол не определяет форму треугольника. Её допускают, когда переносят на треугольники правило, которого признак не утверждает. Проверь себя: для первого признака должны быть равны две пары соответствующих углов.

Во втором признаке иногда сравнивают угол, который не заключён между выбранными сторонами. Так происходит, если ориентироваться на любой отмеченный равный угол, не проверяя его положение. Найди две стороны, отношения которых сравниваются, и убедись, что обе образуют рассматриваемый угол.

Сравнение сторон в разном порядке приводит к неверным пропорциям. Ошибку легко допустить, если записывать отношения до того, как определено соответствие вершин. Подпиши пары соответствующих вершин и проверь, что каждая сторона соединяет именно соответствующие пары вершин.

Коэффициент подобия можно случайно записать в обратном порядке. Обычно это случается, когда не указано, какой треугольник считается первым. До вычислений зафиксируй порядок, например «второй к первому», и дели сторону второго на соответствующую сторону первого; результат должен быть одинаковым для всех пар.

Связь с другими темами

Для работы с признаками пригодятся сумма углов треугольника, свойства равных углов и умение составлять отношения пропорциональных отрезков. Подобие позволяет находить длины, которые нельзя измерить напрямую, и встречается в задачах с параллельными прямыми. Дальше это понятие помогает изучать отношения площадей подобных фигур и применять тригонометрию в треугольнике.

Что запомнить

• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
• Для первого признака достаточно равенства двух пар соответствующих углов.
• Во втором признаке сравнивают две стороны и угол между ними.
• Для третьего признака проверяют пропорциональность всех трёх пар соответствующих сторон.
• Коэффициент подобия — одно и то же отношение любых соответствующих сторон.
• Соответствие вершин нужно установить до записи пропорций.