78. Свойство углов подобных треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, соответствующие стороны которых пропорциональны, а соответствующие углы равны. Проще говоря, один треугольник можно увеличить или уменьшить, чтобы получить другой, не меняя его форму. Это понятие помогает сравнивать фигуры разного размера и переносить сведения об углах с одного треугольника на другой.

Соответствующие вершины — вершины двух треугольников, сопоставленные друг другу при подобии; их порядок задаёт соответствие сторон и углов. Например, в записи △ABC ~ △DEF вершины на одинаковых местах соответствуют друг другу: A — D, B — E, C — F. Такое сопоставление нужно, чтобы не перепутать, какие элементы сравнивать.

Соответствующие углы — углы при соответствующих вершинах подобных треугольников. Если вершина A соответствует вершине D, то углы A и D являются соответствующими. Именно их величины равны, поэтому по известному углу одного треугольника можно найти угол другого.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников. Например, если каждая сторона второго треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны первого, коэффициент подобия при таком сравнении равен 2. Он показывает, во сколько раз изменились размеры, но не меняет величину углов.

Как это устроено

Запись подобия задаёт пары вершин своим порядком. В △ABC ~ △DEF первая вершина первого треугольника соответствует первой вершине второго, вторая — второй, третья — третьей. Поэтому здесь A соответствует D, B соответствует E, C соответствует F. Из этого сразу следует, какие углы можно приравнять: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F.

Свойство углов формулируется так: соответствующие углы подобных треугольников равны. Это не дополнительное условие, которое нужно проверять отдельно, а одно из основных свойств подобия. Если треугольники подобны, равенство их соответствующих углов уже следует из этого факта.

Причина в том, что подобие сохраняет форму фигуры. Один треугольник можно мысленно увеличить или уменьшить, а затем переместить или повернуть, чтобы совместить с другим. Изменение масштаба меняет длины сторон, но не раскрытие углов: направления сторон при таком преобразовании сохраняют взаимное положение. Поэтому величины углов при соответствующих вершинах остаются одинаковыми.

Равенство соответствующих углов не означает, что сами треугольники равны. Например, у треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 6, 8, 10 стороны отличаются вдвое, но треугольники подобны, а их соответствующие углы равны. Равными называют фигуры, которые можно совместить без изменения размера. Подобные фигуры могут не совмещаться, потому что одна больше другой.

Чтобы найти неизвестный угол, сначала определяют его соответствие по записи подобия. Если соответствующий угол известен, его величина сразу подходит в ответ. Если известны два угла того же треугольника, третий находят из суммы 180°: вычитают известные углы из 180°. Затем результат можно перенести в подобный треугольник по соответствию вершин.

Соотношения между элементами подобных треугольников

Сначала найдите соответствующие вершины по записи подобия, а затем сопоставляйте углы и стороны. Таблица помогает не смешивать равенство углов с пропорциональностью сторон. Для неизвестного угла проверьте, можно ли сразу перенести его величину или сначала нужно применить сумму 180°.

Разбор задач

Задача 1

Треугольники ABC и DEF подобны, причём A соответствует D. Найдите ∠D, если ∠A = 47°. Нужно найти угол при вершине, которая соответствует A. По свойству подобных треугольников такие углы равны.

1. Установим соответствие: вершине A соответствует вершина D.

2. Приравняем величины соответствующих углов: ∠D = ∠A.

3. Подставим известное значение: ∠D = 47°.

Ответ: 47°. Размеры треугольников здесь не важны: равенство относится к соответствующим углам.

Задача 2

Треугольники ABC и KLM подобны в указанном порядке. Найдите ∠M, если ∠A = 52°, ∠B = 61°. В записи вершины C и M стоят на третьем месте, значит, это соответствующие вершины. Угол C сначала нужно вычислить по двум другим углам треугольника ABC.

1. По порядку вершин получаем соответствие A — K, B — L, C — M. Значит, ∠M = ∠C.

2. Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Поэтому ∠C = 180° − 52° − 61° = 67°.

3. Перенесём результат на соответствующий угол: ∠M = 67°.

Ответ: 67°. Здесь сумма углов нужна, потому что величина соответствующего угла напрямую не дана.

Задача 3

Треугольники ABC и PQR подобны, A соответствует P, B — Q. Известно, что ∠A = 3x + 5°, ∠P = 2x + 25°. Найдите x и величину ∠C, если ∠B = 68°. Углы A и P соответствуют, поэтому выражения для них равны. После нахождения x можно определить угол A, а затем найти C по сумме углов.

1. Приравняем соответствующие углы: 3x + 5 = 2x + 25. Перенесём слагаемые: x = 20.

2. Вычислим ∠A: 3 · 20 + 5 = 65°. Так как A соответствует P, это согласуется с равенством ∠P = 2 · 20 + 25 = 65°.

3. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Тогда ∠C = 180° − 65° − 68° = 47°.

Ответ: x = 20, ∠C = 47°. Проверка показывает, что найденные значения удовлетворяют и равенству соответствующих углов, и сумме углов треугольника.

Типичные ошибки

Ошибка — сопоставлять углы только по названию вершин или их месту на рисунке, не проверяя запись подобия. Её допускают, когда ориентируются на внешний вид чертежа, хотя треугольник может быть повёрнут или изображён иначе. Проверка простая: выпишите вершины двух треугольников в порядке, в котором они стоят в записи, и сопоставьте одинаковые позиции.

Ошибка — считать подобные треугольники равными, потому что их соответствующие углы одинаковы. Ученик может забыть, что равенство углов сохраняет форму, но не размеры. Проверьте длины сторон: если они пропорциональны с коэффициентом, отличным от 1, треугольники могут быть разного размера.

Ошибка — приравнивать любые углы двух подобных треугольников, а не только соответствующие. Причина часто в том, что все углы кажутся связанными одним свойством. Чтобы проверить себя, сначала установите соответствие вершин и только потом запишите равенство углов; для каждой вершины должна найтись своя пара.

Ошибка — забывать, что сумма углов одного треугольника равна 180°. Из-за этого неизвестный третий угол иногда пытаются найти по углу другого треугольника, хотя его соответствие не установлено. Проверьте, к какому треугольнику относятся известные величины, сложите их и вычтите сумму из 180°.

Связь с другими темами

Для работы с подобием нужно знать обозначение треугольников, уметь читать порядок их вершин и помнить правило о сумме углов, равной 180°. Если порядок прочитан неверно, легко выбрать не ту пару равных углов, а без суммы углов не всегда удаётся вычислить неизвестную величину. Поэтому эти знания применяются вместе, а не по отдельности.

Равенство соответствующих углов используют при доказательстве признаков подобия: оно помогает установить, что фигуры имеют одинаковую форму. То же свойство пригодится в задачах, где нужно найти угол по подобным треугольникам. В таких задачах сначала находят соответствия, затем применяют равенство углов и, если нужно, сумму 180°.

Что запомнить

• У подобных треугольников соответствующие углы равны.
• Порядок вершин в записи подобия указывает, какие углы соответствуют друг другу.
• Угол равен своему соответствующему углу, даже если треугольники различаются по размеру.
• Равенство соответствующих углов само по себе не означает равенства треугольников.
• Сумма углов каждого треугольника равна 180°.