§ 18. Подобные треугольники

Определения и обозначения

Подобными называют треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, если △ABC подобен △DEF, то углы A и D, B и E, C и F равны, а отношения AB/DE, BC/EF и AC/DF одинаковы. Такие треугольники имеют одну форму, но могут отличаться размером. Определение нужно, чтобы точно установить подобие и использовать известные длины для нахождения неизвестных.

Соответственные, или соответствующие, элементы — это вершины, углы и стороны, которые сопоставлены друг другу при сравнении треугольников. В записи △ABC ~ △DEF первая вершина A соответствует D, вторая B — E, третья C — F; поэтому сторона AB соответствует DE. Порядок букв не случаен: он показывает пары элементов, между которыми можно записывать равенства и пропорции. Без такого соответствия легко сравнить не те стороны и получить неверный вывод.

Коэффициент подобия — отношение длины стороны одного треугольника к длине соответствующей стороны другого. Если △ABC сравнивают с △DEF, то k = AB/DE; при подобии такое же отношение получается для остальных соответствующих сторон. Коэффициент показывает, во сколько раз стороны первого треугольника отличаются от сторон второго. Если изменить порядок сравнения, коэффициент станет обратным: вместо AB/DE получится DE/AB.

Как это устроено

Чтобы установить подобие по определению, сначала находят соответствие вершин, а затем проверяют две части условия: равны ли соответствующие углы и пропорциональны ли соответствующие стороны. Например, для △ABC и △DEF нужно проверить равенства углов A и D, B и E, C и F, а также равенство отношений AB/DE, BC/EF, AC/DF. Одного лишь сходства рисунков недостаточно: чертёж может быть выполнен неточно. Проверка по определению опирается на измеряемые или заданные величины.

Соответствие вершин нужно знать заранее, потому что слово «соответствующие» означает не любые элементы, а элементы одной и той же пары. Если A соответствует D, стороны, выходящие из этих вершин, сопоставляют с соответствующими сторонами у D, сохраняя остальные пары вершин. Порядок записи △ABC ~ △DEF как раз фиксирует, что A ↔ D, B ↔ E и C ↔ F. Поэтому пропорцию следует составлять в одном и том же порядке, например AB/DE = BC/EF, а не AB/EF = BC/DE.

Для признака подобия по двум углам достаточно проверить равенство двух пар соответствующих углов. Третья пара тоже равна: сумма углов любого треугольника составляет 180°, поэтому третий угол однозначно определяется двумя остальными. Например, если ∠A = ∠D и ∠B = ∠E, то ∠C = 180° − ∠A − ∠B, а ∠F = 180° − ∠D − ∠E, значит, ∠C = ∠F. Следовательно, треугольники подобны.

Коэффициент подобия связывает длины всех соответствующих сторон, а не только той пары, по которой его нашли. Если k = AB/DE, то также k = BC/EF = AC/DF. При перестановке треугольников порядок числителя и знаменателя меняется, поэтому коэффициент становится 1/k. Это помогает верно выбрать отношение в зависимости от того, какой треугольник рассматривают первым.

Если неизвестна сторона, подставляют в пропорцию известные соответствующие длины и решают её. После вычисления полезно проверить результат: отношения всех известных соответствующих сторон должны совпасть с найденным коэффициентом. Если, например, сторона первого треугольника вдвое больше соответствующей стороны второго, остальные стороны первого также должны быть вдвое больше. Несовпадение отношений означает, что допущена ошибка в вычислении, сопоставлении или исходные данные не согласуются с подобием.

Признаки и свойства подобных треугольников

Сначала выбери строку, подходящую к данным задачи: углы, стороны или коэффициент. Затем проверь соответствие вершин и записывай отношения в одном порядке. Для вывода о подобии по сторонам важно учитывать равенство соответствующих углов либо применять подходящий признак подобия.

Разбор задач

Задача 1. Даны два равных угла

В △ABC и △DEF известно, что ∠A = 48°, ∠B = 67°, ∠D = 48°, ∠E = 67°. Определим, подобны ли треугольники. Сопоставим A с D, а B с E, поскольку углы в этих парах равны. Для признака по двум углам достаточно уже этих равенств.

1. Проверяем первую пару: ∠A = ∠D = 48°.
2. Проверяем вторую пару: ∠B = ∠E = 67°.
3. По признаку подобия по двум углам заключаем, что △ABC ~ △DEF; третьи углы также равны и составляют 65° каждый.

Ответ: треугольники подобны по двум углам. Третий угол равен 180° − 48° − 67° = 65° в каждом треугольнике.

Задача 2. Найти неизвестную сторону

△ABC ~ △DEF, причём A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Известно, что AB = 6 см, DE = 9 см, EF = 12 см; найдём BC. Сначала по записи подобия определяем, что AB соответствует DE, а BC соответствует EF. Коэффициент при сравнении ABC с DEF равен 6/9 = 2/3.

1. Записываем пропорцию соответствующих сторон: AB/DE = BC/EF.
2. Подставляем значения: 6/9 = BC/12.
3. Находим неизвестную: BC = 12 · 6/9 = 8 см.
4. Проверяем направление отношения: первая сторона в 2/3 от второй, поэтому BC тоже должна составлять 2/3 от EF.

Ответ: BC = 8 см. Проверка: 8/12 = 2/3, что совпадает с отношением AB/DE.

Задача 3. Проверить подобие по трём сторонам

У первого треугольника стороны равны 4 см, 6 см и 8 см, у второго — 6 см, 9 см и 12 см. Предположим, что соответствуют стороны, перечисленные в одинаковом порядке, и сравним отношения. Для подобия все три отношения должны быть равны одному коэффициенту. Если хотя бы одно отличается, стороны не пропорциональны и подобие по этим соответствиям не подтверждается.

1. Сравниваем первую пару: 4/6 = 2/3.
2. Сравниваем вторую пару: 6/9 = 2/3.
3. Сравниваем третью пару: 8/12 = 2/3.
4. Все отношения совпали, поэтому стороны пропорциональны; коэффициент при сравнении первого треугольника со вторым равен 2/3.

Ответ: по соответствующим сторонам треугольники подобны, коэффициент равен 2/3. Обратный коэффициент, если сравнивать второй треугольник с первым, равен 3/2.

Типичные ошибки

Ошибка: сопоставлять стороны только по тому, как они расположены на рисунке. Чертёж может быть повернут или нарисован не в масштабе, поэтому одинаковое положение сторон не гарантирует соответствие. Так ошибаются, когда не замечают обозначения равных углов или порядок вершин. Проверь, какие вершины соответствуют друг другу, и только затем сопоставляй стороны.

Ошибка: записывать отношения в разном порядке, например AB/DE и EF/BC. В таком случае сравниваются обратные коэффициенты, и пропорция может не сойтись. Обычно это происходит, когда стороны выписывают по отдельности, не придерживаясь одной записи подобия. Проверь, чтобы в каждой дроби в числителе стояла сторона первого треугольника, а в знаменателе — соответствующая сторона второго.

Ошибка: считать треугольники подобными по одной паре равных углов. Это условие само по себе не определяет все углы и форму треугольника. Путаница возникает, когда признак по двум углам запоминают неполно. Для вывода о подобии по углам проверь две пары соответствующих углов, а затем используй сумму углов, чтобы убедиться в равенстве третьей пары.

Ошибка: сохранять коэффициент неизменным после перестановки треугольников. Если сначала делили сторону первого треугольника на сторону второго, при обратном сравнении нужно делить наоборот. Иначе коэффициент покажет неверное увеличение или уменьшение. Проверь порядок сравнения: при смене порядка коэффициент должен стать обратным, например 2/3 вместо 3/2.

Связь с другими темами

Для работы с подобием понадобятся свойства углов треугольника, особенно их сумма 180°, и умение составлять пропорции. Эти знания позволяют вывести равенство третьей пары углов и найти неизвестные стороны. Равенство углов при параллельных прямых помогает доказывать подобие в чертежах с секущими и параллельными отрезками. Такие рассуждения связаны с отношениями отрезков и теоремой Фалеса.

Подобие применяют, когда нужно оценить недоступное расстояние по измерениям на местности или найти настоящую длину по масштабу карты и плана. Оно также помогает объяснить, почему отношения сторон прямоугольных треугольников связаны с тригонометрическими отношениями. Поэтому умение распознавать подобные фигуры пригодится и в геометрических задачах, и в практических измерениях.

Что запомнить

• У подобных треугольников соответствующие углы равны.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Равенство двух пар соответствующих углов — признак подобия треугольников.
• Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон.
• При обратном порядке сравнения коэффициент обращается.
• Периметры подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.