"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. У них равны соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Такое соответствие позволяет находить неизвестные стороны, периметры и площади, сравнивать фигуры и вычислять расстояния, которые трудно измерить напрямую. Подобие устанавливают по двум углам, двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁, то вершины A и A₁, B и B₁, C и C₁ соответствуют друг другу. Стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ тоже являются соответствующими.
Коэффициент подобия — это отношение соответствующих сторон подобных треугольников. Если первый треугольник сравнивают со вторым, то k = AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. При обратном порядке сравнения коэффициент становится 1/k, поэтому порядок треугольников нужно сохранять во всех отношениях.
Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: P/P₁ = k. Это следует из того, что каждая сторона одного треугольника получается умножением соответствующей стороны другого на одно и то же число. Свойство помогает находить неизвестный периметр без вычисления всех его сторон.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S/S₁ = k². Линейные размеры меняются в k раз сразу по двум направлениям, поэтому площадь меняется сильнее. Например, при k = 3 площадь увеличивается в 9 раз.
Подобие сохраняет форму треугольника, но не обязано сохранять его размер. Равенство соответствующих углов показывает, что фигуры одинаково «наклонены» и имеют одну форму. Пропорциональность сторон показывает, что переход от одного треугольника к другому выполнен единым масштабированием, а не изменением отдельных частей.
Если стороны двух треугольников пропорциональны, соответствующие углы также должны совпадать. Это можно увидеть, построив на двух сторонах одного треугольника отрезки нужной длины и проведя через их концы прямую, параллельную третьей стороне. Параллельность даёт равенство соответственных углов, а полученная малая фигура оказывается подобной исходной; поэтому тот же масштаб и те же углы возникают у треугольников с пропорциональными сторонами.
Первый признак подобия: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Третьи углы тоже равны, потому что сумма углов треугольника равна 180°. Значит, форма треугольников совпадает, а соответствующие стороны имеют общий коэффициент пропорциональности.
Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники подобны. Равный угол фиксирует направление двух сторон, а их общий масштаб задаётся пропорцией. Поэтому третья сторона и остальные углы также получаются соответствующими.
Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны. Отложив на двух сторонах одного треугольника отрезки с тем же отношением и проведя параллельную прямую, получают треугольник с нужными сторонами и равными углами. Значит, заданные три отношения не позволяют углам измениться независимо: соответствующие углы равны, и треугольники подобны.
| Признак | Условия | Вывод |
|---|---|---|
| Первый признак — по двум углам | Два угла одного треугольника равны двум углам другого | Треугольники подобны |
| Второй признак — по двум сторонам и углу между ними | Две стороны пропорциональны, а углы между ними равны | Треугольники подобны |
| Третий признак — по трём сторонам | Три пары соответствующих сторон пропорциональны | Треугольники подобны |
Сначала определите, какие элементы уже известны: углы, две стороны с углом между ними или три стороны. Затем проверьте именно условия одного из признаков, не смешивая соответствующие элементы. После доказательства подобия можно составлять пропорции и находить неизвестные величины.
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны, углы B и B₁ равны. Известно, что AB = 6, A₁B₁ = 9. Нужно доказать подобие и найти отношение соответствующих сторон.
Ответ: треугольники подобны; отношение соответствующих сторон ABC к A₁B₁C₁ равно 2:3.
В треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах AB и AC, причём DE параллельна BC. Дано AB = 15, AC = 20, AE = 12. Требуется найти AD.
Ответ: AD = 9.
Стороны двух подобных треугольников относятся как 3:5. Периметр меньшего равен 24, площадь равна 27. Нужно найти периметр и площадь большего треугольника.
Ответ: периметр большего треугольника равен 40, площадь — 75.
Вершины сопоставляют только по положению на рисунке, хотя рисунок может быть повернут или перевёрнут. Из-за этого сторона AB ошибочно связывается, например, с B₁C₁. Проверяйте соответствие по равным углам, а не по внешнему виду схемы.
Отношения записывают в разном порядке: например, AB/A₁B₁ и B₁C₁/BC. Тогда коэффициенты становятся взаимно обратными и пропорция нарушается. Выберите направление сравнения треугольников и придерживайтесь его в каждой дроби.
Одну пару равных углов иногда принимают за доказательство подобия. Одного угла недостаточно, потому что треугольники могут иметь разные формы. Найдите ещё одну пару равных углов или примените другой признак.
Для площадей используют сам коэффициент подобия, а не его квадрат. Это происходит из-за смешения линейных размеров и площади. Проверьте себя: если сторона увеличилась в 2 раза, площадь должна увеличиться в 4 раза.
Для изучения подобия нужны признаки равенства треугольников, свойства углов и параллельных прямых, а также умение работать с отношениями и пропорциями. Эти знания помогают распознавать соответствующие элементы и составлять верные равенства.
Подобие применяют, когда нельзя измерить расстояние напрямую: например, для определения высоты дерева или ширины реки. Позже оно используется при изучении прямоугольных треугольников и тригонометрических отношений, где сравнивают стороны треугольников одинаковой формы.
Чем подобные треугольники отличаются от равных?
Равные треугольники совпадают по форме и размеру, а у подобных форма одинакова, но размеры могут быть разными. У равных треугольников коэффициент подобия равен 1.
Как правильно определить соответствующие вершины?
Сначала сопоставляют равные углы: вершины с равными углами являются соответствующими. Затем стороны, лежащие напротив или между соответствующими углами, также сопоставляют между собой.
Почему для подобия достаточно равенства двух углов?
Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому при равенстве двух углов равны и третьи. Три равных соответствующих угла задают одну и ту же форму треугольника, а стороны отличаются только общим масштабом.
Как понять, какое отношение сторон записывать первым?
Нужно выбрать порядок сравнения треугольников и соблюдать его во всех дробях. Если сначала сравнивают ABC с A₁B₁C₁, записывают AB/A₁B₁, BC/B₁C₁ и AC/A₁C₁.
Почему площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия?
Каждая длина увеличивается в k раз, а площадь зависит от произведения двух длин. Поэтому при масштабе k площадь изменяется в k² раз.
§ 12. Подобные треугольники
