§ 13. Первый признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Подобие означает одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Это позволяет переносить известные свойства и вычисления с одной фигуры на другую.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Например, k = AB / A₁B₁. Он показывает, во сколько раз одна фигура больше или меньше другой.

Соответствующие стороны — стороны, лежащие напротив равных соответствующих углов. Если вершины A и A₁ соответствуют друг другу, то сторона BC соответствует B₁C₁. Такое соответствие нужно установить до составления пропорции.

Первый признак подобия треугольников утверждает: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны. Для треугольников ABC и A₁B₁C₁ это записывают так: AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.

Как это устроено

Сначала нужно установить, какие вершины треугольников соответствуют друг другу. Равные углы указывают соответствующие вершины, а стороны напротив этих углов становятся соответствующими. Например, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁, то A—A₁, B—B₁, C—C₁, а значит AB—A₁B₁ и AC—A₁C₁.

В первом признаке сравнивают две стороны и угол между ними, потому что именно такое сочетание задаёт треугольник по форме. Если известны только две стороны без угла, треугольники могут иметь разную форму. Угол, расположенный между выбранными сторонами, связывает их в одну конструкцию и позволяет сделать надёжный вывод о подобии.

Условие пропорциональности записывают одной дробью для каждой пары соответствующих сторон: AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁. Одновременно указывают равенство включённых углов: ∠A = ∠A₁. Нельзя менять порядок сторон только в одной дроби: если первая дробь относится к большему треугольнику и меньшему, то такой же порядок сохраняют во второй.

Из этих условий следует, что треугольники имеют одинаковую форму, поэтому их соответствующие углы равны, а все соответствующие стороны пропорциональны. Причём отношение любой пары соответствующих сторон будет тем же самым. Если AB / A₁B₁ = k, то AC / A₁C₁ = k и BC / B₁C₁ = k.

После доказательства подобия можно находить неизвестные элементы. Сначала порядок записи подобия подсказывает соответствие вершин и сторон, затем выбирают коэффициент и составляют пропорцию. Углы находят как равные соответствующие углы, а стороны — умножением или делением на коэффициент.

Первый признак подобия треугольников

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала найдите две пары сторон и сравните их отношения, затем проверьте угол между ними. Если оба условия выполнены, можно записать подобие треугольников. Порядок букв в записи сразу задаёт соответствующие стороны.

Разбор задач

Задача 1

Дано: AB = 6 см, AC = 9 см, A₁B₁ = 4 см, A₁C₁ = 6 см, ∠A = ∠A₁. Нужно доказать подобие треугольников ABC и A₁B₁C₁ и найти коэффициент подобия. Сравним стороны, прилежащие к равным углам.

1. Вычислим отношения: AB / A₁B₁ = 6 / 4 = 3 / 2, AC / A₁C₁ = 9 / 6 = 3 / 2.
2. Две пары сторон пропорциональны, а углы между ними равны.
3. По первому признаку △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
4. При направлении от ABC к A₁B₁C₁ коэффициент равен k = 3 / 2.

Ответ: треугольники подобны; коэффициент подобия ABC к A₁B₁C₁ равен 3 / 2. В обратном направлении коэффициент был бы 2 / 3.

Задача 2

Дано: AB = 8 см, AC = 12 см, A₁B₁ = 6 см, A₁C₁ = 9 см, ∠A = ∠A₁, BC = 10 см. Требуется найти B₁C₁. Сначала докажем подобие, иначе применять пропорцию к третьим сторонам нельзя.

1. AB / A₁B₁ = 8 / 6 = 4 / 3, а AC / A₁C₁ = 12 / 9 = 4 / 3.
2. Углы между сторонами равны, значит, △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
3. Для соответствующих третьих сторон BC / B₁C₁ = 4 / 3.
4. 10 / B₁C₁ = 4 / 3, поэтому B₁C₁ = 10 · 3 / 4 = 7,5 см.

Ответ: B₁C₁ = 7,5 см.

Задача 3

Точки B и B₁ лежат на одном луче угла, а C и C₁ — на другом. Дано: AB = 5 см, AC = 7 см, AB₁ = 8 см, AC₁ = 11,2 см, BC = 4 см. Общий угол при A является углом между сравниваемыми сторонами.

1. 5 / 8 = 0,625 и 7 / 11,2 = 0,625, значит, AB / AB₁ = AC / AC₁.
2. Угол BAC равен углу B₁AC₁, так как это один и тот же угол между лучами.
3. По первому признаку △ABC ∼ △AB₁C₁.
4. Коэффициент увеличения от ABC к AB₁C₁ равен 8 / 5 = 1,6.
5. B₁C₁ = 4 · 1,6 = 6,4 см.

Ответ: треугольники подобны, B₁C₁ = 6,4 см.

Типичные ошибки

Сравнивают несоответствующие стороны. Ошибка появляется, если сразу записать дроби, не сопоставив вершины по углам. Проверьте: стороны должны лежать напротив равных углов и иметь одинаковый порядок в записи подобия.

Берут не включённый угол. Иногда ученик видит равный угол, но он не находится между двумя пропорциональными сторонами. Проверьте обе стороны: их общая вершина должна быть вершиной указанного равного угла.

Доказывают только одну пару сторон и один угол. Этих данных недостаточно для первого признака, потому что требуется пропорциональность двух пар сторон. Найдите и проверьте второе отношение.

Переворачивают одну пропорцию. Например, записывают AB / A₁B₁ и одновременно A₁C₁ / AC. Из-за этого коэффициенты становятся обратными. Во всех дробях сохраняйте одно направление: либо первый треугольник делите на второй, либо наоборот.

Связь с другими темами

Перед изучением признака нужны знания о равенстве треугольников, пропорции и угле между двумя сторонами. Дальше подобие используется в задачах на пропорциональные отрезки и свойства подобных фигур. Оно также помогает доказывать подобие треугольников, возникающих при параллельных прямых, высотах и диагоналях.

Что запомнить

• Для первого признака нужны две пропорциональные пары соответствующих сторон.
• Угол должен быть заключён между сравниваемыми сторонами.
• Если условия выполнены, треугольники подобны.
• Соответствующие углы подобных треугольников равны.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Отношение соответствующих сторон называют коэффициентом подобия.
• Порядок вершин в записи подобия задаёт соответствие всех сторон и углов.