14.2. Первый признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что фигуры имеют одинаковую форму, хотя могут различаться размером. Например, запись ABC ∼ A₁B₁C₁ показывает, какие вершины и стороны сопоставляются. Определение помогает понять, какие свойства нужно проверить, чтобы доказать подобие.

Соответствующие стороны — стороны, лежащие напротив равных углов. Если вершины A и A₁ отвечают равным углам, то при соответствии вершин A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁ сторонам AB и A₁B₁ соответствуют друг другу. Порядок букв в записи задаёт это сопоставление. Оно нужно, чтобы не сравнить стороны, которые занимают разные положения.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Например, если сравниваем ABC с A₁B₁C₁, то k = AB/A₁B₁. При подобии такое же отношение получится для остальных соответствующих сторон. Коэффициент помогает описать, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сторон другого.

Первый признак подобия треугольников — правило, по которому подобие устанавливают по двум пропорциональным сторонам и равенству углов между ними. Нужно, чтобы сравниваемые стороны прилегали к этим углам в обоих треугольниках. Тогда проверка остальных углов и сторон для вывода о подобии не требуется. Это правило удобно, когда известны длины двух сторон и угол между ними.

Как это устроено

Подобие сохраняет форму, но не обязательно сохраняет размеры. При увеличении или уменьшении треугольника его углы остаются прежними, а все стороны меняются в одинаковое число раз. Поэтому у подобных треугольников равны соответствующие углы и равны отношения соответствующих сторон. Это позволяет сравнивать фигуры, не требуя, чтобы их стороны имели одинаковые длины.

Чтобы определить соответствие, сначала найдите равные углы и сопоставьте вершины, в которых они находятся. Например, если ∠A = ∠A₁, то вершина A соответствует A₁, а прилежащие к углу стороны AB и AC нужно сравнивать со сторонами, прилежащими к ∠A₁: A₁B₁ и A₁C₁. Порядок букв в записи треугольников должен отражать найденное соответствие. Так вы не перепутаете стороны, даже если треугольники изображены по-разному.

Первый признак утверждает: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. Например, для углов A и A₁ проверяют равенство ∠A = ∠A₁ и пропорцию AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁. Угол здесь общий для выбранных пар сторон, а не какой-либо другой равный угол треугольников. При выполнении обоих условий можно сделать вывод о подобии.

Почему нужен именно угол между сторонами? Две длины по отдельности не определяют форму треугольника: стороны могут образовывать разные углы, и тогда треугольники будут выглядеть по-разному. Равный угол фиксирует способ соединения выбранных сторон, а пропорция задаёт их относительные размеры. Вместе эти данные определяют одинаковую форму, поэтому и работает признак.

После установления подобия можно находить неизвестные стороны. Сначала выберите порядок сравнения и вычислите коэффициент по известной паре, например k = AB/A₁B₁. Затем используйте такое же отношение для другой пары: BC/B₁C₁ = k. Если неизвестна сторона второго треугольника, выразите её из пропорции и подставьте известные длины. Так вывод о подобии превращается в способ вычисления.

Первый признак подобия треугольников

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала сопоставьте стороны, затем сравните их отношения и угол между ними. Вывод о подобии делают, только когда выполнены оба условия.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны углы A и A₁; AB = 6, AC = 9, A₁B₁ = 4, A₁C₁ = 6. Определить, подобны ли треугольники. Сравним стороны, прилежащие к равным углам, потому что именно они нужны для первого признака. Затем проверим, одинаковы ли их отношения.

1. Углы A и A₁ заключены между сторонами AB и AC, A₁B₁ и A₁C₁.
2. Вычислим отношения: AB/A₁B₁ = 6/4 = 1,5 и AC/A₁C₁ = 9/6 = 1,5.
3. Отношения равны, а углы между сторонами равны по условию. Значит, выполнены оба условия первого признака.

Ответ: треугольники подобны.

Задача 2

Углы A и A₁ равны, AB = 8, AC = 10, A₁B₁ = 12, A₁C₁ = 15. Найти коэффициент подобия и выяснить, подобны ли треугольники. Сначала проверим пропорциональность прилежащих к равным углам сторон. Коэффициент возьмём как отношение сторон ABC к соответствующим сторонам A₁B₁C₁.

1. Сравним пары: AB/A₁B₁ = 8/12 = 2/3.
2. Для второй пары получаем AC/A₁C₁ = 10/15 = 2/3. Значит, отношения равны, а угол между сторонами равен по условию.
3. Первый признак выполнен. Коэффициент подобия ABC к A₁B₁C₁ равен 2/3; в обратном направлении он был бы 3/2.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент в указанном порядке равен 2/3.

Задача 3

Углы A и A₁ равны, AB = 6, AC = 9, A₁B₁ = 10, A₁C₁ = 15. Треугольники подобны, BC = 12; найти B₁C₁. Здесь недостаточно сразу искать третью сторону: сначала нужно обосновать подобие. Затем коэффициент позволит составить пропорцию для BC и B₁C₁.

1. Проверим стороны при равных углах: AB/A₁B₁ = 6/10 = 3/5, AC/A₁C₁ = 9/15 = 3/5.
2. Углы между этими сторонами равны, поэтому по первому признаку ABC ∼ A₁B₁C₁. Коэффициент ABC к A₁B₁C₁ равен 3/5.
3. Для третьих сторон BC/B₁C₁ = 3/5. Подставим BC = 12: 12/B₁C₁ = 3/5, откуда B₁C₁ = 20.

Ответ: B₁C₁ = 20.

Типичные ошибки

Можно сравнить стороны, которые не соответствуют друг другу. Так случается, если выбирать пары только по длинам, не установив, какие углы равны. Сопоставьте равные углы, запишите соответствие вершин и проверьте порядок букв в обозначениях. Например, при ABC ∼ A₁B₁C₁ сторона AB соответствует A₁B₁.

Некоторые используют равный угол, который не лежит между выбранными сторонами. Но первый признак требует равенства именно углов, образованных этими сторонами. Ошибка возникает, когда в условии виден другой равный угол и его принимают за нужный. Перед применением признака проверьте, что обе выбранные стороны имеют общую вершину этого угла.

Нельзя заключать о подобии только по одному равному углу или только по пропорциональности одной пары сторон. Этих данных не хватает, чтобы применить первый признак, хотя каждое из них может выглядеть убедительно. Проверьте наличие сразу двух условий: равенства углов между сторонами и равенства отношений двух пар сторон. Если одно условие не подтверждено, вывод по этому признаку делать нельзя.

При составлении пропорции легко перевернуть одно отношение: например, разделить AB на A₁B₁, а AC — на A₁C₁, но записать для второй пары обратный порядок. Тогда равные отношения могут ошибочно показаться разными. Выберите направление сравнения до вычислений и придерживайтесь его во всех дробях. Для самопроверки прочитайте каждое отношение словами: сторона первого треугольника делится на соответствующую сторону второго.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужны знания об отношениях и пропорциях: нужно уметь составлять равенства вида AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁. Также важно распознавать равные углы и соответствующие элементы треугольников. Признак используют, чтобы доказывать подобие и находить неизвестные стороны через пропорцию. Он подготавливает к изучению других признаков подобия и задач на пропорциональные отрезки.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Углы между выбранными сторонами должны быть равны.
• Отношения выбранных сторон должны быть равны.
• Соответствующие стороны сопоставляют в одном и том же порядке.
• При выполнении условий первого признака треугольники подобны.
• У подобных треугольников все соответствующие стороны пропорциональны.