14.3. Другие признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Признак подобия по двум сторонам и углу утверждает: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны. Это позволяет доказать одинаковую форму фигур, не находя все их углы.

Признак подобия по трём сторонам означает, что все три пары соответствующих сторон имеют одно и то же отношение. Равенство углов отдельно проверять не нужно: оно следует из такой пропорциональности.

Соответственные стороны — стороны, занимающие одинаковое положение в двух треугольниках. Их находят по соответствующим вершинам и углам, а затем сравнивают в правильном порядке.

Коэффициент подобия — отношение одной стороны первого треугольника к соответствующей стороне второго: k = A₁B₁/AB. Он показывает, во сколько раз стороны одной фигуры больше или меньше соответствующих сторон другой.

Как это устроено

Для первого признака выбирают две стороны, прилежащие к одному углу, и сравнивают их с такими же сторонами второго треугольника. Если, например, AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Угол нужен именно между выбранными сторонами, потому что он задаёт их взаимное положение и вместе с длинами определяет форму треугольника.

При признаке по трём сторонам составляют три отношения соответствующих сторон: AB/A₁B₁, BC/B₁C₁ и AC/A₁C₁. Если они равны, то стороны изменены в одном и том же масштабе. Поэтому соответствующие углы также равны, а треугольники подобны.

Решение начинают не с записи вывода, а с поиска соответствий. Сначала сопоставляют вершины по равным углам или по порядку данных сторон, затем проверяют нужные отношения и только после этого записывают, например, ΔABC ∼ ΔDEF. Такой порядок защищает от ошибки: даже верный признак не сработает, если стороны поставлены в разные пары.

После доказательства подобия отношения всех соответствующих сторон одинаковы. Если известны AB, DE и одна из этих сторон, находят коэффициент k = DE/AB, а затем используют пропорцию для неизвестной стороны. Полученный результат можно проверить обратным умножением: соответствующая сторона должна измениться в k раз.

Другие признаки подобия треугольников

Сначала определите соответствие вершин, затем выберите нужную строку таблицы. Проверяйте именно те условия, которые указаны в среднем столбце, и после этого записывайте вывод из последнего столбца.

Если требуется найти сторону, используйте равенство соответствующих отношений. Один и тот же коэффициент должен получаться для всех известных пар.

Разбор задач

Задача 1

Дано: AB = 4, AC = 6, A₁B₁ = 6, A₁C₁ = 9 и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. Нужно доказать подобие треугольников ABC и A₁B₁C₁. Сравниваем стороны, прилежащие к равным углам.

1. Проверим пропорциональность: AB/A₁B₁ = 4/6 = 2/3, а AC/A₁C₁ = 6/9 = 2/3.
2. Углы между этими сторонами равны: ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.
3. По признаку двух сторон и угла между ними заключаем: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент перехода от ABC к A₁B₁C₁ равен 3/2.

Задача 2

Стороны первого треугольника равны 3, 4 и 5, второго — 6, 8 и 10. Нужно доказать подобие и найти коэффициент. Сопоставляем стороны в порядке 3–6, 4–8, 5–10.

1. Получаем отношения 3/6 = 1/2, 4/8 = 1/2 и 5/10 = 1/2.
2. Все три отношения равны, поэтому выполнен признак подобия по трём сторонам.
3. Коэффициент второго треугольника к первому равен 6/3 = 2.

Ответ: треугольники подобны; коэффициент увеличения равен 2.

Задача 3

Пусть AB = 5, AC = 7, DE = 10, DF = 14, ∠A = ∠D, EF = 12. Требуется найти BC. Стороны AB и AC соответствуют DE и DF, так как они заключают равные углы A и D.

1. Проверяем: AB/DE = 5/10 = 1/2 и AC/DF = 7/14 = 1/2.
2. По двум сторонам и углу между ними ΔABC ∼ ΔDEF, поэтому BC/EF = 1/2.
3. Подставляем EF = 12: BC = 12 · 1/2 = 6.

Ответ: BC = 6.

Типичные ошибки

Пропорциональны только две стороны. Ученик считает этого достаточным, потому что видит одинаковый масштаб. Но без равенства углов между сторонами первый признак не выполнен. Проверьте, указано ли нужное равенство углов.

Взят не заключённый угол. Иногда сравнивают стороны AB и AC, но используют угол при другой вершине. Такой угол не определяет положение выбранных сторон. Мысленно выделите две стороны и убедитесь, что обе образуют выбранный угол.

Проверены только две пары сторон. Это может привести к ошибочному выводу по признаку трёх сторон. Нужно выписать и третье отношение и сравнить его с двумя первыми.

Неверно установлено соответствие. Тогда правильные длины оказываются в неправильных отношениях. Сначала сопоставьте вершины по углам, а затем проверьте, что сторонам напротив соответствуют стороны напротив.

Связь с другими темами

Перед изучением признаков нужно знать определение подобных треугольников, соответствие их вершин и равенство отношений соответствующих сторон. При решении понадобится умение находить углы треугольника и работать с пропорциями. Эти признаки связывают доказательство подобия с вычислением неизвестных сторон: сначала устанавливают подобие, затем используют коэффициент.

Что запомнить

• Для подобия достаточно пропорциональности двух сторон и равенства углов между ними.
• Для подобия достаточно пропорциональности трёх пар соответствующих сторон.
• В признаке по двум сторонам угол должен быть заключён между ними.
• В признаке по трём сторонам нужно сравнить все три пары сторон.
• Перед применением признака необходимо правильно установить соответствие элементов.
• У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны.