"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Подобные многоугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз линейные размеры одной фигуры отличаются от другой. Поэтому периметры подобных фигур относятся как их стороны, а площади — как квадраты коэффициента подобия. Эти свойства помогают находить неизвестные длины и площади, не измеряя фигуры напрямую.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные многоугольники — это многоугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими называют вершины и стороны, которые занимают одинаковое положение при обходе фигур; их удобно записывать в одном порядке. Это определение позволяет понять, какие именно углы и длины можно сравнивать, и применять свойства подобия.
Коэффициент подобия — отношение длины стороны одного многоугольника к длине соответствующей стороны другого. Если для фигур 1 и 2 записано k = a₁/a₂, то k показывает, во сколько раз сторона первой фигуры отличается от стороны второй. При перестановке фигур получится обратное отношение, поэтому всегда указывай, какую фигуру берёшь первой.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Для подобных многоугольников с коэффициентом k, записанным от фигуры 1 к фигуре 2, отношение периметров обозначают P₁/P₂. Такая запись помогает находить неизвестный периметр по известному и коэффициенту подобия.
Площадь многоугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает фигура. Площади подобных многоугольников сравнивают отношением S₁/S₂, соблюдая тот же порядок фигур, что и при записи коэффициента. Это нужно, чтобы правильно связать изменение размеров фигуры с изменением занимаемой ею части плоскости.
Пусть коэффициент подобия фигур 1 и 2 равен k, то есть длина стороны первой фигуры, делённая на длину соответствующей стороны второй, равна k. Тогда длины всех соответствующих сторон связаны одинаково: a₁ = k · a₂, b₁ = k · b₂ и так далее. Это следует из определения подобных многоугольников: отношения любых пар соответствующих сторон равны. Если k больше единицы, первая фигура крупнее второй по линейным размерам, а если меньше единицы — мельче.
Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия: P₁/P₂ = k. Периметр получается сложением всех сторон, поэтому можно заменить каждую сторону первой фигуры соответствующей стороной второй, умноженной на k. Например, P₁ = k · a₂ + k · b₂ + … = k · (a₂ + b₂ + …) = k · P₂. Общий множитель k остаётся перед суммой, и потому отношение периметров совпадает с отношением соответствующих сторон.
Чтобы разобраться с площадями, можно мысленно разбить подобные многоугольники на соответствующие треугольники. Такое разбиение проводят одинаково для обеих фигур: каждой части одной фигуры соответствует такая же по форме часть другой. У соответствующих треугольников все линейные размеры отличаются в k раз, поскольку их стороны образованы соответствующими отрезками многоугольника. Поэтому для сравнения общих площадей достаточно выяснить, как меняется площадь каждого треугольника.
Площадь каждого соответствующего треугольника изменяется в k² раз. Это видно, например, по формуле площади треугольника: если основание и высоту увеличить в k раз, произведение основания на высоту увеличится в k · k раз. Площади всех частей складываются, поэтому общий множитель k² сохраняется и для целого многоугольника: S₁/S₂ = k². Значит, площадь растёт быстрее, чем длина стороны: увеличение линейных размеров в 3 раза даёт увеличение площади в 9 раз.
Коэффициент зависит от направления сравнения. Если переходить от меньшей фигуры к большей, отношение стороны большей к соответствующей стороне меньшей больше единицы; при обратном переходе оно меньше единицы. Например, для сторон в отношении 3:5 коэффициент «большая к меньшей» равен 5/3, а «меньшая к большей» — 3/5. Поэтому в одном решении нужно сохранять выбранный порядок и в отношениях сторон, периметров и площадей.
| Что сравниваем | Соотношение при коэффициенте подобия k | Что следует из соотношения |
|---|---|---|
| Соответствующие стороны | a₁/a₂ = k | Линейные размеры отличаются в k раз. |
| Периметры | P₁/P₂ = k | Периметры относятся как соответствующие стороны. |
| Площади | S₁/S₂ = k² | Площади относятся как квадраты соответствующих линейных размеров. |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала установи соответствие фигур и выбери порядок сравнения: например, фигура 1 к фигуре 2. Если известны периметры, их отношение сразу даёт k, а если известны площади — k². При поиске длины по площадям не забудь извлечь квадратный корень.
Стороны двух подобных треугольников относятся как 3:5. Периметр меньшего треугольника равен 24 см. Найдите периметр большего. Отношение 3:5 записано от меньшего к большему, поэтому коэффициент перехода к большей фигуре равен 5/3. Периметры относятся в том же порядке, что и стороны.
Ответ: 40 см.
Периметры подобных многоугольников равны 28 см и 42 см. Сторона меньшего многоугольника равна 8 см. Найдите соответствующую сторону большего. Сначала нужно определить, какой периметр принадлежит меньшей фигуре: 28 см меньше 42 см. Значит, для перехода от меньшей фигуры к большей коэффициент будет больше единицы.
Ответ: 12 см.
Площади подобных многоугольников равны 36 см² и 144 см². Сторона большего многоугольника равна 20 см. Найдите соответствующую сторону меньшего. Большей фигуре соответствует площадь 144 см², меньшей — 36 см². Отношение площадей равно квадрату отношения сторон, поэтому сначала найдём квадрат коэффициента, а затем сам коэффициент.
Ответ: 10 см.
Считать, что отношение площадей равно коэффициенту подобия. Так ошибаются, потому что площадь и длина могут казаться одинаковыми по способу сравнения. Проверь себя: если отношение сторон равно k, отношение площадей должно быть k².
Приравнивать отношение периметров квадрату коэффициента. Квадрат появляется при сравнении площадей, а периметр является суммой длин и меняется вместе с линейными размерами. Для проверки запиши отношение периметров и сравни его с отношением соответствующих сторон: оба должны быть равны k.
Переворачивать отношение периметров, но оставлять коэффициент прежним. Это происходит, когда порядок фигур меняется в середине решения. Проверь, чтобы в числителях и знаменателях всех отношений стояли величины одной и той же фигуры; при перестановке фигур коэффициент тоже нужно обратить.
Сравнивать стороны, которые не соответствуют друг другу. Можно допустить эту ошибку, если просто взять стороны одинаковой длины или расположенные рядом в записи. Сначала установи соответствие вершин по углам и порядку обхода, а затем сопоставляй стороны между соответствующими вершинами.
Для работы с подобными многоугольниками нужно знать их определение, уметь находить соответствующие элементы и решать пропорции. Если известны три числа в пропорции, неизвестное можно найти умножением и делением. Эти знания пригодятся в задачах на подобие треугольников, где часто находят неизвестные стороны и периметры.
Те же соотношения используются при работе с масштабом: изменение длины задаётся коэффициентом, а площади меняются в квадрат этого коэффициента. Поэтому по масштабу можно сравнивать не только расстояния на плане и на местности, но и площади участков. Свойство площадей также помогает находить неизвестную сторону по известным площадям подобных фигур.
Как найти коэффициент подобия по сторонам?
Выберите соответствующие стороны и разделите длину стороны первой фигуры на длину стороны второй. Порядок важен: если поменять фигуры местами, получится обратный коэффициент.
Почему отношение периметров равно коэффициенту подобия?
Каждая сторона первой фигуры равна соответствующей стороне второй, умноженной на один и тот же коэффициент. При сложении всех сторон этот общий множитель сохраняется, поэтому так же относятся и периметры.
Почему площади относятся как квадрат коэффициента подобия?
При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь каждого соответствующего треугольника возрастает в k² раз. Если разбить подобные многоугольники на такие треугольники, то во столько же раз изменится и общая площадь.
Как понять, какую фигуру брать первой в отношении?
Сначала решите, какое отношение нужно найти, например «большая к меньшей». Затем в таком же порядке записывайте стороны, периметры или площади обеих фигур. При смене порядка отношение становится обратным.
Как найти сторону подобного многоугольника по отношению площадей?
Разделите площадь первой фигуры на площадь второй: это будет квадрат коэффициента подобия. Извлеките квадратный корень, чтобы получить коэффициент, а затем умножьте известную соответствующую сторону на него или разделите на него — в зависимости от порядка фигур.
14.4. Свойства подобных многоугольников
