15.1. Понятие гомотетии

Определения и обозначения

Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и ненулевым коэффициентом k, при котором каждой точке A соответствует точка A′. Преобразование означает правило, по которому точкам исходной фигуры ставят в соответствие новые точки. Гомотетия нужна, чтобы получать фигуры той же формы, но другого размера, или строить образ отдельной точки.

Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой задаётся преобразование. Неподвижная значит, что сама точка O при гомотетии не перемещается. Центр служит началом лучей, по которым находят образы остальных точек.

Коэффициент гомотетии k — число, определяющее направление и масштаб преобразования; расстояния связаны равенством OA′ = |k|·OA. Вертикальные черты означают модуль числа, то есть его величину без знака. Поэтому расстояние всегда получается положительным, а знак k отдельно показывает, на какой стороне центра находится образ.

Образ точки A при гомотетии — точка A′ на прямой OA: при k > 0 она лежит с A на одном луче из O, а при k < 0 — на противоположном. Прямая проходит через O и A, а луч начинается в O и продолжается в выбранную сторону. Это определение сразу помогает понять, где искать образ и в каком направлении его строить.

Как это устроено

Построение образа начинают с прямой, проходящей через центр O и точку A. Это необходимо потому, что гомотетия меняет расстояние от центра, но не переносит точку в произвольном направлении. Значит, сначала проводят OA, а затем выбирают нужный луч и откладывают на нём требуемый отрезок.

Модуль коэффициента задаёт расстояние до образа: OA′ = |k|·OA. Если |k| > 1, исходное расстояние умножается на число больше единицы, поэтому A′ оказывается дальше от O. Если 0 < |k| < 1, расстояние становится меньше, и образ приближается к центру. Так коэффициент меняет масштаб, не нарушая расположения точки на прямой OA.

Знак коэффициента отвечает за направление, потому что одна и та же длина может быть отложена от центра по двум противоположным лучам. При k > 0 образ располагают на луче OA: направление сохраняется. При k < 0 его помещают на противоположный луч. Поэтому для построения недостаточно вычислить расстояние — нужно также проверить знак k.

Чтобы построить образ фигуры, находят образы её характерных точек, то есть тех точек, по которым фигура задаётся. Например, для отрезка достаточно построить образы обоих концов: образ исходного отрезка соединяет полученные точки. Для треугольника строят образы трёх вершин и соединяют их в том же порядке, что и исходные вершины. Такой порядок сохраняет соответствие сторон и углов.

При k = 1 точка и её образ совпадают, поскольку расстояние умножается на единицу и направление остаётся прежним. При k = −1 расстояние тоже не меняется, но знак меняет направление на противоположное. Поэтому каждая точка переходит на другую сторону центра на равное расстояние, что соответствует центральной симметрии.

Как коэффициент гомотетии влияет на положение образа точки

Сначала найдите в таблице строку с нужным коэффициентом и определите луч, на котором будет образ. Затем вычислите расстояние OA′ по формуле, используя модуль коэффициента. Сравнение |k| с единицей показывает, станет ли образ дальше от центра или приблизится к нему.

Разбор задач

Образ точки при положительном коэффициенте

На луче OA отмечена точка A, причём OA = 3 см. Постройте её образ при гомотетии с центром O и коэффициентом 2. Коэффициент положительный, поэтому образ останется на том же луче. Его расстояние от центра должно быть вдвое больше исходного.

1. Запишем данные: OA = 3 см, k = 2. Поскольку k > 0, выбираем луч OA, а не противоположное направление. Это определяет место, где следует откладывать расстояние до образа.

2. Находим длину OA′ по формуле OA′ = |k|·OA. Подставляем значения: OA′ = 2·3 = 6 см. Модуль здесь равен 2, так как коэффициент положительный.

3. От точки O по лучу OA откладываем 6 см и отмечаем конец отрезка как A′. Проверяем, что точка находится на исходном луче и дальше от O, чем A. Эти условия соответствуют коэффициенту 2.

Ответ: A′ лежит на луче OA, OA′ = 6 см.

Расстояние при отрицательном коэффициенте

Точка A находится на расстоянии 8 см от центра O. Найдите расстояние от O до её образа при коэффициенте гомотетии −¼. Нужно различить два действия коэффициента: модуль даст длину, а знак поможет определить направление. Вопрос просит именно расстояние, поэтому в ответе указываем положительную длину.

1. Записываем исходные данные: OA = 8 см, k = −¼. Для вычисления расстояния используем формулу OA′ = |k|·OA. Отрицательный знак не может сделать длину отрицательной.

2. Находим модуль коэффициента: |−¼| = ¼. Затем умножаем исходное расстояние: OA′ = ¼·8 = 2 см. Поскольку модуль меньше единицы, образ ближе к центру, чем точка A.

3. Учитываем знак отдельно: k < 0, значит, A′ располагается на противоположном луче относительно A. Это не меняет найденные 2 см, а только уточняет положение точки на прямой OA.

Ответ: OA′ = 2 см; точка A′ находится на противоположном луче.

Образ треугольника при коэффициенте −2

Постройте образ треугольника ABC при гомотетии с центром O и коэффициентом −2. Треугольник задан тремя вершинами, поэтому достаточно найти образы A, B и C. Отрицательный знак потребует для каждой вершины противоположного луча, а модуль 2 — удвоенного расстояния.

1. Проведите прямые OA, OB и OC. На каждой из них определите луч, противоположный лучу из O к соответствующей исходной вершине. Все три образа должны остаться на прямых, проходящих через центр и исходные вершины.

2. Для вершины A отложите на противоположном луче расстояние OA′ = 2·OA. Аналогично постройте B′ так, чтобы OB′ = 2·OB, и C′ так, чтобы OC′ = 2·OC. Коэффициент одинаков для всех вершин, поэтому расстояния каждый раз увеличиваются вдвое.

3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и вершины исходного треугольника. Полученная фигура A′B′C′ — образ треугольника ABC. Перед завершением проверьте и направление, и длину каждого из трёх отрезков от O.

Ответ: треугольник A′B′C′, построенный на противоположных лучах при удвоенных расстояниях от O.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать отрицательной длину OA′, если k < 0. Так происходит, когда знак коэффициента переносят в формулу длины без модуля. Проверка простая: длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому в равенстве OA′ = |k|·OA нужно использовать модуль.

• Ошибка: при k < 0 откладывать образ на том же луче, что и точка A. Часто замечают величину коэффициента, но забывают о его знаке. Проверьте знак перед построением: минус означает противоположный луч, даже если рассчитанная длина найдена верно.

• Ошибка: выбирать для A′ произвольное направление на плоскости. Она возникает, если сосредоточиться только на изменении расстояния и не учесть расположение центра. Для самопроверки проведите прямую OA: точка A′ обязательно должна лежать на ней.

• Ошибка: считать, что отношение OA′/OA всегда равно k. В действительности отношение длин равно |k|, поскольку расстояния положительны; знак коэффициента определяется тем, на одном или противоположных лучах лежат A и A′. Проверьте отдельно масштаб по длинам и направление по лучам.

Связь с другими темами

Для построений нужны навыки работы с прямой и лучом, измерения отрезков и нахождения расстояния на одной прямой. Они помогают верно расположить образ и отложить нужную длину. Гомотетия связана с центральной симметрией: при k = −1 точка переходит на противоположный луч на такое же расстояние от центра. Позже это понятие пригодится при изучении подобных фигур и преобразований, сохраняющих форму, но меняющих размер.

Что запомнить

• Гомотетия задаётся центром O и ненулевым коэффициентом k.
• Точка и её образ лежат на прямой, проходящей через центр.
• Расстояние до образа равно |k|·OA.
• При k > 0 образ лежит на том же луче, при k < 0 — на противоположном.
• Если |k| > 1, расстояние от центра увеличивается; если 0 < |k| < 1 — уменьшается.
• При k = 1 получается тождественное преобразование, при k = −1 — центральная симметрия.