15.2. Свойства гомотетии

Определения и обозначения

Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и ненулевым коэффициентом k, при котором каждой точке A соответствует точка A′ на прямой OA и OA′ = |k|·OA. Иными словами, все точки перемещаются относительно одного центра по общему правилу масштаба. Это определение нужно, чтобы задавать преобразование для целой фигуры, а не только для одной точки.

Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой располагаются исходные точки и их образы. Для любой точки, кроме O, образ строят на прямой, проходящей через неё и центр. Центр помогает определить направление и положение каждого образа.

Коэффициент гомотетии k — число, задающее отношение расстояний от центра до образа и исходной точки; знак определяет, находятся ли точки по одну или по разные стороны от центра. Модуль |k| показывает, во сколько раз меняются расстояния. Коэффициент нужен, чтобы описать и размер, и расположение образа.

Образ точки A при гомотетии — точка A′, для которой −−→OA′ = k·−→OA. Стрелки над буквами обозначают направленные отрезки, то есть векторы. Эта запись одновременно показывает расстояние от O до A′ и сторону, на которой лежит образ.

Как это устроено

Чтобы построить образ A, сначала проводят прямую через O и A, поскольку вектор OA′ должен быть направлен вдоль OA или противоположно ему. Затем от центра откладывают расстояние |k|·OA: модуль берут потому, что расстояние всегда неотрицательно. При k > 0 образ располагается на том же луче, что и A, а при k < 0 — на противоположном луче. Так знак коэффициента задаёт направление, не меняя правила расчёта длины.

Для двух точек A и B расстояние между образами равно A′B′ = |k|·AB. Это следует из подобия треугольников OAB и OA′B′: стороны, выходящие из O, увеличены или уменьшены в одном и том же масштабе. Поэтому меняется не только расстояние от центра до отдельной точки, но и длина любого отрезка фигуры. Например, при |k| = 2 каждый отрезок образа вдвое длиннее соответствующего исходного отрезка.

Угол при гомотетии сохраняется, потому что обе его стороны, проведённые из общей вершины, изменяются в одинаковом масштабе. При отрицательном коэффициенте соответствующие лучи могут направиться в противоположную сторону, но величина угла между соответствующими сторонами остаётся прежней. Поэтому образ отрезка параллелен исходному отрезку или лежит на той же прямой. Это свойство помогает узнавать и строить подобные фигуры.

Прямая, не проходящая через O, переходит в параллельную прямую: если взять на ней две точки, то расстояния и направления их образов подчиняются одному и тому же коэффициенту. Направление исходной прямой при этом сохраняется, а положение меняется. Если же прямая проходит через центр, образы её точек остаются на этой прямой. Поэтому такая прямая переходит в себя, а не в отдельную параллельную ей прямую.

Периметр складывается из длин сторон, и каждая соответствующая длина умножается на |k|. Значит, на это же число умножается и весь периметр. Площадь зависит от двух измерений — например, длины и ширины; каждое из них меняется в |k| раз. Поэтому площадь умножается на |k|·|k| = k², и знак коэффициента на её величину не влияет.

Свойства гомотетии с коэффициентом k

Чтобы решить задачу, сначала определите, что именно меняется: отрезок, периметр, угол, прямая или площадь. Затем выберите соответствующее правило из таблицы и подставьте коэффициент, не забывая о его модуле для длин. Для определения стороны от центра отдельно проверьте знак k.

Разбор задач

Задача 1. Центр гомотетии O, OA = 3 см, коэффициент k = 2. Найдите OA′ и укажите, где расположена точка A′. Чтобы ответить, отдельно найдём расстояние и учтём знак коэффициента.

1. Используем формулу расстояния: OA′ = |k|·OA.
2. Подставляем значения: OA′ = |2|·3 = 6 см.
3. Коэффициент положительный, значит, A и A′ лежат на одном луче с началом O. Образ дальше от центра, поскольку расстояние увеличилось.

Ответ: OA′ = 6 см; точка A′ находится на луче OA.

Задача 2. При гомотетии с центром O и коэффициентом k = −3 отрезок AB длиной 4 см переходит в A′B′. Найдите длину A′B′ и опишите расположение образов точек. Здесь длина отрезка определяется модулем коэффициента, а его знак понадобится для описания положения точек.

1. Для расстояния между образами используем A′B′ = |k|·AB.
2. Подставляем данные: A′B′ = |−3|·4 = 12 см.
3. Так как k < 0, каждая исходная точка и её образ лежат на противоположных лучах одной прямой с центром O. Например, A′ находится по другую сторону от O, чем A.

Ответ: A′B′ = 12 см; образы точек расположены по другую сторону от центра.

Задача 3. Площадь треугольника равна 12 см², а площадь его образа — 108 см². Найдите возможные значения коэффициента гомотетии. Сначала сравним площади, поскольку они связаны не с |k|, а с квадратом коэффициента.

1. Записываем отношение площадей: S′/S = k².
2. Подставляем числа: k² = 108/12 = 9, поэтому |k| = 3.
3. И квадрат положительного, и квадрат отрицательного числа 3 равны 9. Следовательно, площадь не позволяет выбрать между двумя знаками.

Ответ: k = 3 или k = −3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что отрицательный коэффициент уменьшает длины. Так думают, потому что число со знаком минус кажется указанием на уменьшение, но знак здесь отвечает за сторону относительно O, а длину задаёт |k|. Проверка: вычислите модуль коэффициента; при k = −3 расстояния становятся втрое больше. Сравните отдельно длину и расположение точек.

Ошибка: умножать площадь на |k|. Это происходит, когда правило для длины переносят на площадь, не учитывая два измерения фигуры. Каждое из них меняется в |k| раз, поэтому площадь умножается на k². Проверка: при увеличении сторон в три раза площадь должна вырасти в девять раз.

Ошибка: утверждать, что любая прямая переходит в параллельную ей. Обычно запоминают только случай прямой, не проходящей через центр, и забывают проверить положение прямой. Если она проходит через O, её образ совпадает с ней самой. Проверка: перед выводом отметьте, лежит ли центр на исходной прямой.

Ошибка: путать отношение расстояний до центра с отношением расстояний между двумя точками. Оба вида отрезков изменяются в |k| раз, из-за чего правила могут показаться одним и тем же. Но OA и OA′ измеряются от центра, а AB и A′B′ — между точками фигуры. Проверка: назовите концы нужного отрезка и выберите формулу именно для него.

Связь с другими темами

Для изучения гомотетии нужны умения работать с лучами и прямыми, измерять отрезки и углы, распознавать параллельные прямые. Также пригодится подобие треугольников: оно объясняет, почему расстояния между образами изменяются в одном масштабе. Эти знания помогают обосновывать свойства, а не только применять готовые формулы.

Свойства гомотетии пригодятся при изучении преобразований подобия, где фигуры имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны. С их помощью можно решать задачи на подобные фигуры и находить отношения площадей. Связь между масштабом длин и квадратом масштаба площадей особенно полезна при переходе от линейных размеров к площади.

Что запомнить

• Образ точки и исходная точка лежат на одной прямой с центром гомотетии.
• Расстояние от центра до образа равно |k|, умноженному на исходное расстояние.
• При k > 0 точка и её образ находятся по одну сторону от центра; при k < 0 — по разные стороны.
• Расстояния между образами точек и периметры умножаются на |k|.
• Соответствующие углы при гомотетии равны.
• Площади образов умножаются на k².