15.3. Гомотетии и изометрии

Определения и обозначения

Гомотетия с центром O и коэффициентом k — преобразование, при котором точка A переходит в A′, причём O, A и A′ лежат на одной прямой и OA′ = |k|·OA. Знак k определяет, по какую сторону от центра находится образ. Это определение помогает находить положение и расстояние до образа точки.

Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой задаётся положение образа каждой точки. Он сам переходит в себя, а остальные точки рассматриваются относительно него. Это нужно, чтобы правильно строить образы и измерять расстояния.

Коэффициент гомотетии — число k, задающее, во сколько раз меняются расстояния до центра и по какую сторону от него располагаются образы. Его модуль |k| отвечает за масштаб, а знак — за направление. Так можно отличить увеличение или уменьшение от перемещения образа на противоположную сторону.

Изометрия — преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Поэтому длины отрезков и размеры фигур после такого преобразования не меняются. Это определение позволяет проверить, остаётся ли фигура равной исходной.

Как это устроено

Чтобы найти образ точки при гомотетии, проводят прямую через точку и центр: образ должен лежать именно на ней. Если k положителен, образ располагается с той же стороны от центра, что и исходная точка; если k отрицателен — с противоположной. Так получается потому, что знак коэффициента задаёт направление от O, а модуль — длину этого перемещения. Для точки, совпадающей с центром, образ тоже совпадает с центром.

Расстояние между образами A′ и B′ равно |k|·AB. Действительно, координаты обеих точек относительно центра умножаются на один коэффициент, поэтому и расстояние между ними увеличивается или уменьшается в одинаковое число раз. Из-за общего масштаба все стороны фигуры меняются согласованно, а её форма сохраняется. Например, если |k| = 2, каждая сторона образа вдвое длиннее соответствующей стороны исходной фигуры.

При k = 1 расстояние каждой точки от центра и её направление сохраняются, поэтому точка остаётся на месте. При k = −1 расстояние также не меняется, но направление меняется на противоположное: образ оказывается по другую сторону O на таком же расстоянии. Это центральная симметрия — соответствие точек, расположенных напротив друг друга относительно одной точки. В обоих случаях размеры фигур не меняются.

Изометрия сохраняет расстояние между каждой парой точек, а значит, длины всех отрезков фигуры остаются прежними. Поэтому её образ не становится больше или меньше исходной фигуры. При этом фигура может изменить положение или повернуться: сохранение расстояний не означает, что каждая точка обязана остаться на месте. Именно неизменность расстояний отличает изометрию от преобразования с изменением масштаба.

У гомотетии с |k| = 1 расстояния между точками не меняются, поэтому такое преобразование является изометрией. Если |k| отличается от 1, то расстояние между любыми двумя различными точками умножается на число, отличное от 1. Значит, длины изменяются, а условие изометрии нарушается. Проверять, является ли гомотетия изометрией, удобно именно по модулю коэффициента.

Сравнение гомотетии и изометрии

Сначала найдите в таблице, что происходит с расстояниями, — это главное различие преобразований. Затем проверьте коэффициент: при |k| = 1 гомотетия сохраняет размеры, а при других значениях меняет их. Строка об особых случаях помогает увидеть, когда два понятия пересекаются.

Разбор задач

Задача 1. При гомотетии с центром O и коэффициентом 2 точка A находится на расстоянии 3 см от O. Найдите расстояние от O до образа A′.

1. Используем формулу OA′ = |k|·OA: она связывает исходное расстояние с расстоянием до образа.
2. Подставляем |2| = 2 и OA = 3 см: OA′ = 2·3 = 6 см.
3. Ответ: 6 см. Положительный знак коэффициента означает, что A′ находится с той же стороны от центра, но для нахождения длины достаточно модуля.

Задача 2. При гомотетии с центром O точка A переходит в A′, причём OA = 4 см и OA′ = 10 см. Найдите возможные коэффициенты гомотетии.

1. По формуле расстояния получаем |k| = OA′/OA, потому что расстояние до образа равно исходному расстоянию, умноженному на модуль коэффициента.
2. Вычисляем: |k| = 10/4 = 2,5. Это значение задаёт величину изменения расстояния, но ещё не указывает сторону расположения образа.
3. Точка A′ может находиться как по ту же сторону от O, так и по противоположную. Поэтому возможны k = 2,5 и k = −2,5; ответ зависит от расположения точек, которое в условии не уточнено.

Задача 3. При гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник A′B′C′. Известны AB = 5 см, |k| = 3 и A′B′ = 15 см. Может ли это преобразование быть изометрией?

1. Изометрия обязана сохранить расстояние между точками A и B, то есть длина A′B′ должна быть равна AB. Это следует из определения изометрии.
2. Здесь AB = 5 см, а A′B′ = 15 см, поэтому длина стороны изменилась втрое. Это согласуется с правилом гомотетии при |k| = 3.
3. Ответ: нет, преобразование не является изометрией. Коэффициент по модулю не равен 1, и сторона образа не равна исходной.

Типичные ошибки

Ошибка: считать коэффициент гомотетии всегда положительным. Так думают, если замечают только увеличение или уменьшение расстояния, но забывают о направлении. Проверьте, с какой стороны от O расположена точка A′: если стороны противоположны, коэффициент отрицательный.

Ошибка: умножать длину на k и получать отрицательное расстояние. Знак коэффициента показывает направление, а длина не может быть отрицательной, поэтому при вычислении расстояний используют |k|. Самопроверка проста: в результате измерения должно получиться число не меньше нуля.

Ошибка: называть любую гомотетию изометрией. Причина — обе операции сохраняют форму фигуры, но сохранение формы не означает сохранения размера. Сравните коэффициент с единицей по модулю: только при |k| = 1 расстояния не меняются.

Ошибка: считать, что центр гомотетии перемещается вместе с фигурой. Центр задаёт неподвижную точку, а положение каждой другой точки определяется относительно него. Чтобы проверить построение, убедитесь, что O совпадает со своим образом и точки O, A, A′ лежат на одной прямой.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия прямой, отрезка и расстояния между точками: без них нельзя определить положение образа и вычислить его длину. Симметрия помогает разобраться в случае k = −1. Равные фигуры связаны с изометрией, потому что при ней расстояния и размеры не меняются.

Гомотетия пригодится при изучении подобия фигур: соответствующие длины при таком преобразовании изменяются в одинаковое число раз. Это позволяет находить неизвестные отрезки по пропорции и проверять, как связаны размеры исходной фигуры и её образа.

Изометрии относятся к движениям плоскости и используются в задачах на равенство фигур. Если преобразование сохраняет расстояния, можно обосновать равенство соответствующих отрезков и применять это при доказательствах.

Что запомнить

• При гомотетии образ точки лежит на прямой, проходящей через точку и центр.
• Знак коэффициента определяет сторону, на которой расположен образ.
• Расстояния при гомотетии изменяются в |k| раз.
• Центр гомотетии остаётся на месте.
• Изометрия сохраняет расстояния между всеми парами точек.
• Гомотетия с |k| = 1 является изометрией.