Раздел 6. Синус и косинус. Метрические соотношения в треугольнике

Определения и обозначения

Синус острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет — тот из двух катетов, который находится напротив выбранного угла и не образует его стороны. Поэтому для угла A записывают sin A = противолежащий катет / гипотенуза. Это отношение помогает выразить сторону, лежащую напротив угла, через гипотенузу.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет образует выбранный острый угол, но не является гипотенузой: гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла. Запись cos A = прилежащий катет / гипотенуза относится именно к такому катету. Косинус позволяет связать угол с длиной стороны, которая примыкает к нему.

Проекция стороны треугольника на прямую, содержащую другую сторону, — отрезок, полученный перпендикулярным проектированием концов этой стороны на прямую. Иначе говоря, из концов стороны опускают перпендикуляры, а расстояние между основаниями перпендикуляров задаёт её проекцию. Проекция помогает выразить части сторон через длины и косинус угла. Такие выражения приводят к метрическим соотношениям, то есть равенствам между длинами сторон треугольника.

Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны треугольника с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними. Если стороны a и b образуют угол C, а сторона c лежит напротив него, то c² = a² + b² − 2ab cos C. Угол в формуле выбирают не произвольно: это угол именно между сторонами a и b. Теорема подходит не только для прямоугольных треугольников.

Как это устроено

Возьмём два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом. У каждого есть ещё один равный угол — прямой, поэтому и третьи углы равны; значит, треугольники подобны. При увеличении или уменьшении подобного треугольника все стороны меняются в одно и то же число раз. Поэтому отношение противолежащего катета к гипотенузе и отношение прилежащего катета к гипотенузе остаются прежними: синус и косинус определяются величиной угла.

Чтобы найти синус или косинус, сначала выберите острый угол и отметьте гипотенузу — она всегда напротив прямого угла. Из оставшихся сторон найдите катет напротив выбранного угла и катет, который образует этот угол вместе с гипотенузой. Первый нужен для синуса, второй — для косинуса. Так как катеты короче гипотенузы, полученные отношения положительны и меньше единицы.

В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°, поэтому они дополнительные. Катет, лежащий напротив одного из них, для другого становится прилежащим, а гипотенуза остаётся той же. Следовательно, sin A = cos B, если A + B = 90°. Это равенство позволяет заменить синус косинусом дополнительного угла и наоборот.

Пусть в треугольнике ABC из вершины C опущена высота на прямую AB. Основание высоты делит прямую на отрезки-проекции сторон AC и BC; длина каждой проекции связана с соответствующей стороной через косинус угла при основании. Например, проекция AC на AB равна AC · cos A, поскольку в образовавшемся прямоугольном треугольнике косинус A — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Высота тем самым помогает представить сторону через проекцию, а проекцию — через сторону и косинус.

Если выразить проекции двух сторон и сложить или вычесть полученные отрезки на прямой, можно получить соотношение для третьей стороны. После преобразования выходит c² = a² + b² − 2ab cos C, где C — угол между a и b, а c — противоположная ему сторона. Так проекции приводят к теореме косинусов и показывают, почему в ней участвует именно косинус угла между сторонами. Если C прямой, cos C = 0, член 2ab cos C исчезает, и остаётся c² = a² + b² — теорема Пифагора.

Синус, косинус и метрическое соотношение в треугольнике

Сопоставляйте условие задачи с таблицей: для прямоугольного треугольника выберите отношение катета к гипотенузе, а для произвольного — теорему косинусов. В последней строке видно, почему формула при прямом угле упрощается. Перед вычислением проверьте, что выбранный угол соответствует нужным сторонам.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, катет, противолежащий углу A, равен 5. Найдите sin A и cos A. Сначала найдём недостающий катет, потому что для косинуса требуется сторона, прилежащая к A. Гипотенуза уже известна, поэтому применим теорему Пифагора.

1. Обозначим второй катет через x. По теореме Пифагора 5² + x² = 13², откуда x² = 169 − 25 = 144 и x = 12.
2. Синус A — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = 5/13.
3. Второй катет прилежит к A, поэтому cos A = 12/13.

Ответ: sin A = 5/13, cos A = 12/13. Проверка: оба значения меньше единицы, как и должно быть для отношения катета к гипотенузе. Кроме того, для угла A противолежащим остался катет длиной 5.

Задача 2. В треугольнике две стороны равны 6 и 8, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону. Прямоугольность треугольника не указана, поэтому теорема Пифагора напрямую не подходит. Известны две стороны и угол между ними — это данные для теоремы косинусов.

1. Пусть третья сторона равна c. Она лежит напротив угла 60°, а известные стороны 6 и 8 образуют этот угол.
2. Запишем формулу: c² = 6² + 8² − 2 · 6 · 8 · cos 60°.
3. Подставим cos 60° = ½: c² = 36 + 64 − 96 · ½ = 52. Так как длина положительна, c = √52 = 2√13.

Ответ: 2√13. Получилось примерно 7,2, что разумно: третья сторона больше разности известных сторон и меньше их суммы, то есть находится между 2 и 14.

Задача 3. В треугольнике ABC стороны AB = 7, AC = 9, BC = 8. Найдите cos угла A. Угол A образован сторонами AB и AC, а напротив него лежит BC. Поэтому в теореме косинусов именно квадрат BC будет стоять слева, а известные AB и AC — в правой части.

1. Запишем формулу для стороны, противоположной углу A: BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A.
2. Подставим длины: 8² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos A. Тогда 64 = 130 − 126 cos A.
3. Перенесём слагаемые: 126 cos A = 66, значит cos A = 66/126 = 11/21.

Ответ: cos A = 11/21. Перед вычислениями мы проверили расположение угла: A находится между AB и AC, а не напротив одной из этих сторон. Значение также положительно, поэтому угол A острый.

Типичные ошибки

Первая ошибка — перепутать противолежащий и прилежащий катеты. Их определяют по отношению к выбранному углу, а не по длине: короткий катет не обязательно противолежащий. Чтобы проверить себя, отметьте угол и посмотрите, касается ли его катет; если не касается, он противолежащий. В формулах синуса и косинуса сначала называйте нужный катет словами.

Вторая ошибка — поставить в знаменатель катет. Так бывает, когда забывают, что синус и косинус в этой теме определены как отношения катета к гипотенузе. Гипотенуза всегда противоположна прямому углу и является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Проверьте рисунок или условие: в знаменателе должна стоять именно она.

Третья ошибка — использовать в теореме косинусов косинус не того угла. Ученик может взять угол напротив известной стороны, хотя формула требует угол между двумя сторонами, квадраты которых складываются. Отметьте эти две стороны и найдите общую вершину: угол при ней и нужно подставить. Сторона, квадрат которой стоит отдельно слева, должна лежать напротив выбранного угла.

Четвёртая ошибка — потерять знак минус или множитель 2 в формуле. Правильная запись: c² = a² + b² − 2ab cos C; вычитается всё произведение 2ab cos C. При подстановке полезно заключать значение косинуса в скобки и не сокращать запись слишком рано. В конце проверьте частный случай: при C = 90° должно остаться a² + b².

Связь с другими темами

Для понимания синуса и косинуса нужны подобие прямоугольных треугольников, теорема Пифагора и свойства углов. Подобие объясняет, почему отношения сторон для одного угла постоянны, а теорема Пифагора помогает находить неизвестный катет. Синус и косинус затем используют при решении прямоугольных треугольников и задач на расстояния. Теорема косинусов расширяет вычисления на произвольные треугольники и подготавливает к дальнейшему изучению тригонометрии.

Что запомнить

• Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Значения синуса и косинуса определяются величиной угла, а не размером треугольника.
• Синус одного острого угла равен косинусу дополнительного к нему угла.
• В теореме косинусов учитывают угол между двумя известными сторонами.
• При прямом угле теорема косинусов сводится к теореме Пифагора.