"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Центральный угол помогает описать часть окружности между двумя точками. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается, поэтому по углу можно найти меру дуги, а по дуге — угол. Две точки окружности задают две дуги: меньшую и большую. Их меры в сумме составляют 360°. Эти правила помогают сравнивать дуги и решать задачи об окружностях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Например, если O — центр, а A и B лежат на окружности, то ∠AOB — центральный угол. Такое название сразу подсказывает, откуда измерять поворот и какие точки окружности связаны с углом.
Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Её обозначают двумя буквами концов, например дуга AB; если нужно указать большую из двух дуг, добавляют третью букву — точку на ней. Это помогает понять, какую именно часть окружности рассматривают.
Градусная мера дуги — число градусов центрального угла, который опирается на эту дугу. Например, если соответствующий угол равен 60°, мера дуги тоже равна 60°. Эта величина позволяет сравнивать дуги и решать задачи, не измеряя их длину.
Равные дуги — дуги одной окружности с одинаковой градусной мерой. Такие дуги соответствуют равным центральным углам. Это понятие нужно, чтобы переходить от сравнения частей окружности к сравнению углов.
Стороны центрального угла выходят из центра и пересекают окружность в двух точках. Именно эти точки становятся концами дуг, связанных с углом. Между ними можно двигаться по окружности в двух направлениях, поэтому образуются две дуги. Центральный угол указывает поворот от одной стороны к другой и тем самым помогает выбрать дугу, на которую он опирается.
Если концы дуги не являются концами диаметра, между ними есть меньшая и большая дуги. Обозначение двумя буквами само по себе не всегда показывает, какую из них имеют в виду. Поэтому большую дугу называют тремя буквами: две обозначают её концы, а третья — точку, расположенную на выбранной части окружности. Так обозначение становится однозначным.
Полный оборот вокруг центра равен 360°, и полный круг на окружности тоже соответствует этому обороту. При повороте одной стороны угла до другой отмеряется та же часть оборота, что и соответствующая дуга. Поэтому градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на неё опирается. Мера описывает величину поворота, а не длину самой дуги.
Когда центральные углы равны, они задают одинаковые повороты и отсекают дуги одинаковой градусной меры. Верно и обратное: если дуги одной окружности равны, то равны и соответствующие им центральные углы. Это позволяет заменять сравнение дуг сравнением углов и наоборот. При этом сравнивают именно соответствующие объекты одной окружности.
Две дуги с общими концами вместе образуют полный круг, поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Если известна меньшая дуга, меру большей находят вычитанием: 360° минус мера меньшей. Например, если меньшая дуга равна 125°, большая равна 235°. Такой способ работает, потому что речь идёт о двух частях одной окружности.
В таблице собраны основные соответствия между центральным углом и дугой. Для задачи сначала найдите нужную ситуацию, затем используйте указанную меру или правило.
| Ситуация | Центральный угол | Соответствующая дуга |
|---|---|---|
| Связь градусных мер | Мера угла равна мере дуги | Мера дуги равна мере угла |
| Равные углы и дуги | Равным углам соответствуют равные углы | Равным дугам соответствуют равные дуги |
| Полный круг | Полный поворот — 360° | Вся окружность — 360° |
| Полуокружность | Угол — 180° | Дуга — 180° |
| Большая дуга и меньшая дуга с общими концами | Их соответствующие углы в сумме дают 360° | Меры двух дуг в сумме дают 360° |
Задача 1. Центральный угол равен 48°. Найдите градусную меру меньшей дуги, на которую он опирается. Нужно установить, какая величина связывает угол с дугой. Для любой дуги её градусная мера равна мере соответствующего центрального угла.
Ответ: 48°. Здесь не нужно вычитать число из 360°, потому что спрашивают именно дугу, на которую опирается данный угол.
Задача 2. Меньшая дуга между точками A и B равна 125°. Найдите градусную меру большей дуги AB. Концы A и B делят окружность на две дуги, и вместе они составляют полный круг. Значит, их меры должны дать 360°.
Ответ: большая дуга AB равна 235°. Если требуется точно обозначить её, используют три буквы, указав точку, лежащую на большой дуге.
Задача 3. Дуги AB и CD одной окружности равны. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 73°. Найдите угол, опирающийся на дугу CD. Равные дуги одной окружности имеют равные соответствующие центральные углы. Поэтому можно перейти от равенства дуг к равенству углов.
Ответ: 73°. Равенство получилось не из измерения, а из свойства соответствующих дуг и центральных углов.
Иногда дугой считают только меньшую часть между двумя точками. Но две точки делят окружность на две дуги, а выбор зависит от условия задачи. Ошибку предотвращает проверка: уточните, сказано ли «меньшая», «большая» или указана ли дополнительная точка на дуге.
Можно записать большую и меньшую дуги двумя буквами и не пояснить, какую из них имеют в виду. Это происходит потому, что пара букв называет общие концы, но не показывает путь по окружности. Большую дугу обозначайте тремя буквами и проверяйте, что третья точка лежит именно на ней.
Градусную меру дуги иногда принимают за длину дуги. Число градусов показывает часть полного поворота, а длина измеряется единицами длины, например сантиметрами. Перед вычислением проверьте, что требуется найти: меру в градусах или длину окружности и её части.
При вычислении большой дуги из 360° вычитают меру меньшей, но могут забыть, к какой дуге относится результат. Тогда ответ ошибочно называют мерой меньшей дуги или не связывают его с нужными концами. Проверьте сумму: меньшая и найденная большая дуги должны вместе дать 360°.
Для этой темы нужно знать, что такое окружность, её центр и радиус, а также понимать, что угол измеряют в градусах. Эти понятия помогают определить, где находится вершина центрального угла и какие точки задают дугу. Дальше связь дуг и центральных углов пригодится при изучении вписанных углов. Она также помогает решать задачи, в которых нужно находить части окружности или сравнивать углы.
Чем центральный угол отличается от обычного угла?
У центрального угла вершина обязательно находится в центре окружности, а его стороны пересекают окружность. У обычного угла вершина может располагаться где угодно.
Почему у двух точек окружности есть две дуги?
Точки делят окружность на две части: одну можно пройти между ними в одном направлении, другую — в противоположном. Обычно это меньшая и большая дуги.
Как обозначить большую дугу, чтобы не перепутать её с меньшей?
Большую дугу обозначают тремя буквами: буквами её концов и ещё одной точкой, лежащей на этой дуге. Двух букв недостаточно, потому что они могут обозначать дугу по любую сторону от концов.
Как найти меру дуги, если известен центральный угол?
Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла. Например, углу 48° соответствует дуга мерой 48°.
Почему мера полной окружности равна 360°?
Полный поворот вокруг центра составляет 360°, а стороны центрального угла при таком повороте проходят полный круг. Поэтому полной окружности соответствует мера 360°.
16.1. Центральные углы и дуги окружности
