"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Синус и косинус — отношения сторон прямоугольного треугольника, связанные с выбранным острым углом. Синус показывает, какую долю гипотенузы составляет противолежащий катет, а косинус — прилежащий. Эти отношения не меняются при увеличении или уменьшении треугольника, если угол остаётся прежним. Поэтому синус и косинус помогают находить неизвестные стороны и связывают два острых угла одного прямоугольного треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
В прямоугольном треугольнике синус и косинус определяют для острого угла — угла меньше 90°. Выбранный угол обозначают, например, греческой буквой α. Это уточнение нужно, чтобы понимать, к какому именно углу относятся названия катетов и отношения их длин.
Синус острого угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащий катет — сторона напротив α, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла. Синус позволяет сравнить, какую часть гипотенузы составляет катет напротив выбранного угла.
Косинус острого угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет образует угол α вместе с гипотенузой. По косинусу можно сравнить длину именно этого катета с длиной гипотенузы.
Начните с выбора одного острого угла прямоугольного треугольника. Гипотенуза определяется просто: она всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной. Из двух катетов противолежащий выбранному углу расположен напротив него, а прилежащий касается этого угла и гипотенузы.
Синус сравнивает сторону напротив α с гипотенузой, потому что именно это отношение показывает, насколько велик противолежащий катет относительно самой длинной стороны. Косинус использует прилежащий катет: он показывает его долю от гипотенузы. В обоих случаях выбранный катет делят на гипотенузу, а не наоборот, согласно определениям sin α и cos α.
Представьте два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом, но разными размерами. Они подобны: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны отличаются во столько же раз. Если одновременно умножить числитель и знаменатель отношения на одно и то же число, значение дроби не изменится. Поэтому синус и косинус задаются величиной угла, а не длинами сторон конкретного треугольника.
Чтобы не перепутать катеты на схеме, сначала отметьте выбранный угол и найдите гипотенузу по её положению напротив прямого угла. Затем проследите, какая сторона лежит прямо напротив выбранного угла: это противолежащий катет. Оставшийся катет касается выбранного угла, но не является гипотенузой, поэтому он прилежащий. При смене выбранного острого угла названия катетов меняются местами.
Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. Если обозначить их α и β, то катет, противолежащий α, прилежит к β, а гипотенуза остаётся той же. Поэтому отношение противолежащего катета к гипотенузе для α совпадает с отношением прилежащего катета к гипотенузе для β: sin α = cos β. Точно так же sin β = cos α.
Чтобы пользоваться таблицей, сначала выберите угол и установите, какой катет находится напротив него, а какой прилегает к нему. Затем сравните нужный катет с гипотенузой по строке «Сторона в числителе». Строка «Возможные значения» помогает проверить результат: отношение должно быть больше нуля и меньше единицы.
| Что сравниваем | sin α | cos α |
|---|---|---|
| Отношение сторон | Противолежащий катет / гипотенуза | Прилежащий катет / гипотенуза |
| Сторона в числителе | Противолежащий катет | Прилежащий катет |
| Общий знаменатель | Гипотенуза | Гипотенуза |
| Возможные значения | Больше 0 и меньше 1 | Больше 0 и меньше 1 |
В каждой задаче сначала выясняем, какие стороны относятся к выбранному углу, и только после этого записываем нужную дробь. Если не хватает длины стороны, применяем теорему Пифагора. В ответе указываем значение отношения или длины с единицами измерения, когда речь идёт о стороне.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а катет, противолежащий углу α, — 6 см. Найдите sin α.
Ответ: sin α = 0,6.
Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите синус и косинус угла, прилежащего к катету 12 см.
Ответ: sin α = 5/13, cos α = 12/13.
Задача 3. Гипотенуза равна 13 см, sin α = 5/13. Найдите оба катета.
Ответ: катеты равны 5 см и 12 см.
Путают противолежащий и прилежащий катеты, потому что на рисунке стороны не всегда расположены привычно. Эти названия зависят от выбранного угла: при выборе другого острого угла катеты меняются ролями. Проверьте себя: найдите, какая сторона лежит напротив угла, а какая касается его и гипотенузы.
Иногда в знаменатель дроби ставят катет вместо гипотенузы, например из-за неверно прочитанной схемы. Причина ошибки — гипотенузу определяют не по выбранному острому углу, а по её постоянному признаку: она лежит напротив прямого угла. Перед вычислением отметьте прямой угол и убедитесь, что знаменатель — противоположная ему сторона.
Синус и косинус ошибочно считают разными для треугольников разного размера, даже если выбранный угол одинаков. При увеличении подобного треугольника все его стороны меняются пропорционально, поэтому отношения катета к гипотенузе сохраняются. Проверка: если соответствующие стороны умножены на одно число, это число сокращается в дроби.
Определения применяют к тупому углу прямоугольного треугольника, хотя такого угла в нём нет: один угол прямой, а два оставшихся острые. Для синуса и косинуса в этой теме выбирают именно острый угол. Перед записью отношения проверьте, что выбранный угол меньше 90° и находится в рассматриваемом прямоугольном треугольнике.
Чтобы находить синус и косинус, нужно знать стороны прямоугольного треугольника, понимать, где его гипотенуза и катеты, и уметь применять теорему Пифагора. Свойство постоянства отношений опирается на подобие треугольников: оно объясняет, почему для одного угла получается одно и то же значение при разных размерах фигур. Дальше синус и косинус помогут находить неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника.
Как понять, какой катет прилежит к углу?
Сначала выберите острый угол. Катет, который образует этот угол вместе с гипотенузой, называется прилежащим; второй катет лежит напротив угла и называется противолежащим.
Почему в знаменателе всегда стоит гипотенуза?
Так определены синус и косинус острого угла: каждый из них — отношение катета к гипотенузе. Гипотенуза одна и та же для обоих отношений.
Могут ли синус или косинус острого угла быть больше единицы?
Нет. В прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее любого катета, поэтому отношение катета к гипотенузе больше нуля, но меньше единицы.
Зависит ли значение синуса от длины сторон треугольника?
Нет, если величина угла не меняется. Треугольники с одинаковым острым углом подобны, а отношения соответствующих сторон у подобных треугольников равны.
Как связаны синус и косинус двух острых углов одного прямоугольного треугольника?
Два острых угла в сумме составляют 90°. Синус одного из них равен косинусу другого: sin α = cos β, если α и β — острые углы этого треугольника.
16.2. Определение синуса и косинуса
