"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Синус и косинус — числа, которые показывают, как соотносятся стороны прямоугольного треугольника для выбранного острого угла. Синус находят, деля противолежащий катет на гипотенузу, а косинус — прилежащий катет на гипотенузу. Эти отношения не меняются при увеличении или уменьшении треугольника, если угол остаётся тем же. Поэтому синус и косинус помогают находить неизвестные стороны и решать прямоугольные треугольники.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; его обозначают sin α. Противолежащий катет — сторона напротив выбранного угла, а гипотенуза — сторона напротив прямого угла. Запись sin α помогает коротко указать, какое именно отношение сторон рассматривается, и использовать его в вычислениях.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; его обозначают cos α. Прилежащий катет образует одну из сторон выбранного угла, но не является гипотенузой. Это определение нужно, чтобы находить отношение стороны, которая подходит к углу, к самой длинной стороне треугольника.
Противолежащий и прилежащий катеты определяют относительно выбранного острого угла: первый лежит напротив него, второй образует одну из его сторон. Один и тот же катет может быть прилежащим к одному углу и противолежащим к другому. Поэтому перед вычислением нужно сначала назвать угол, иначе легко выбрать не ту сторону.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — сторона напротив прямого угла, а два других отрезка являются катетами. Прямой угол равен 90°, и напротив него всегда лежит самая длинная сторона. Это позволяет сначала узнать гипотенузу на чертеже, а затем отличить её от катетов, которые образуют прямой угол.
Для выбранного острого угла катеты различаются по положению: один противолежащий, другой прилежащий; при выборе другого острого угла их роли меняются. Причина в том, что каждый катет лежит напротив одного острого угла и одновременно образует сторону другого. Значит, обозначения «прилежащий» и «противолежащий» нельзя закрепить за катетом без указания угла.
Отношения катета к гипотенузе зависят только от величины острого угла, а не от размера треугольника: это следует из подобия прямоугольных треугольников с равным острым углом. Подобные треугольники имеют одинаковые углы, а их соответствующие стороны отличаются в одно и то же число раз. Поэтому при делении соответствующих сторон общий множитель сокращается, и отношение остаётся прежним.
Следовательно, синус и косинус задают числа, характеризующие данный острый угол, и их можно находить по сторонам любого прямоугольного треугольника с таким углом. Для синуса делят противолежащий катет на гипотенузу, а для косинуса — прилежащий. Это удобно, когда известен угол и нужно узнать отношение сторон или найти сторону по известной гипотенузе.
В одном прямоугольном треугольнике острые углы дополняют друг друга до 90°: синус одного равен косинусу другого. Например, катет, лежащий напротив первого угла, прилегает ко второму, потому что эти углы вместе образуют прямой угол. Гипотенуза у отношений одна и та же, поэтому sin α = cos β, если α + β = 90°.
| Характеристика | sin α | cos α |
|---|---|---|
| Определение через стороны треугольника | Противолежащий катет / гипотенуза | Прилежащий катет / гипотенуза |
| Какие стороны образуют числитель отношения | Противолежащий катет | Прилежащий катет |
| Значения для острого угла | Больше 0 и меньше 1 | Больше 0 и меньше 1 |
| Связь с функцией другого острого угла | sin α = cos β, если α + β = 90° | cos α = sin β, если α + β = 90° |
Сначала найди в задаче нужный угол, затем определи относительно него катеты и гипотенузу. Выбери столбец с нужной функцией и составь отношение по строке с определением. Так можно проверить, какая сторона должна стоять в числителе.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а катет, лежащий напротив угла α, — 5 см. Найдите sin α. По определению синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, обе нужные длины уже даны.
Ответ: sin α = 5/13. Проверка выбора проста: в числителе стоит катет напротив α, а в знаменателе — гипотенуза.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, один катет — 6 см. Найдите косинус острого угла, прилежащего к этому катету. Слово «прилежащего» указывает, что катет 6 см нужно взять в числитель. Для косинуса знаменателем служит гипотенуза.
Ответ: cos α = 3/5. Второй катет для этого вычисления находить не требуется, потому что обе стороны нужного отношения известны.
Задача 3. Острый угол α равен 30°, гипотенуза — 12 см. Известно, что sin 30° = ½ и cos 30° = √3/2; найдите длины катетов. Противолежащий катет связан с синусом, а прилежащий — с косинусом. Поэтому каждую длину найдём умножением соответствующего отношения на гипотенузу.
Ответ: противолежащий катет равен 6 см, прилежащий — 6√3 см. Так как угол 30° выбран явно, роли катетов при вычислениях не перепутаны.
Первая ошибка — перепутать синус с косинусом и поставить в числитель не тот катет. Такое случается, если помнить только название функции, но не её определение. Проверь себя: у sin α сверху должен быть катет напротив α, а у cos α — катет рядом с α.
Вторая ошибка — называть катет прилежащим, не уточнив угол. При переходе к другому острому углу роли катетов меняются, поэтому привычное название может привести к неверному выбору стороны. Перед вычислением отметь нужный угол и проверь, образует ли катет одну из его сторон.
Третья ошибка — разделить один катет на другой. Это не определение ни синуса, ни косинуса: в обоих отношениях знаменателем служит гипотенуза. Сверь составленную дробь с формулой и убедись, что внизу стоит сторона напротив прямого угла.
Четвёртая ошибка — считать, что увеличение треугольника меняет синус или косинус. Длины сторон при увеличении меняются, но у подобных треугольников они меняются в одинаковое число раз, поэтому отношение сохраняется. Чтобы проверить себя, сравнивай не отдельные длины, а соответствующие отношения сторон у треугольников с одинаковым углом.
Для этой темы нужны понятия прямоугольного треугольника, катета, гипотенузы и острого угла: без них нельзя выбрать стороны в отношениях. Объяснить постоянство синуса и косинуса помогает подобие треугольников, которое показывает равенство соответствующих отношений сторон. Позже эти отношения пригодятся при решении прямоугольных треугольников и вычислении неизвестной длины по заданному углу.
Как понять, какой катет противолежащий данному углу?
Посмотри на выбранный острый угол: противолежащий катет расположен напротив него и не образует его стороны. Катет, который образует одну из сторон угла, называется прилежащим.
Почему синус и косинус не зависят от размера треугольника?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны, поэтому отношения их соответствующих сторон равны. Если увеличить все стороны в одинаковое число раз, отношение катета к гипотенузе не изменится.
Чем синус отличается от косинуса?
В синусе делят противолежащий катет на гипотенузу. В косинусе делят прилежащий к выбранному углу катет на гипотенузу.
Может ли синус острого угла быть равен 1?
Нет, синус острого угла меньше 1. Противолежащий катет короче гипотенузы, поэтому их отношение меньше единицы.
Как связаны синус одного острого угла и косинус другого?
Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°. Если α + β = 90°, то sin α = cos β: противолежащий катет для одного угла является прилежащим для другого.
16.3. Синус и косинус острых углов в прямоугольном треугольнике
