"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Подобные треугольники имеют одинаковую форму: их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Они могут быть разного размера, поэтому подобие помогает находить неизвестные длины, сравнивать фигуры и решать задачи на масштаб. Чтобы верно сопоставить элементы, следят за порядком вершин в записи. Отношение соответствующих сторон называют коэффициентом подобия; оно одинаково для всех пар сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что фигуры имеют одинаковую форму, хотя могут отличаться размером. Определение нужно, чтобы проверять подобие не по одному признаку, а по всем необходимым условиям.
Соответствующие элементы — углы и стороны двух треугольников, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если вершина A сопоставлена с D, то угол A соответствует углу D, а стороны с концом A сопоставляют со сторонами с концом D. Такое сопоставление помогает не перепутать элементы при сравнении.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Если сравнивают первый треугольник со вторым, то k = AB/DE, где AB и DE — соответствующие стороны. Коэффициент показывает, во сколько раз отличаются длины сторон в выбранном порядке.
Обозначение подобия — запись вида ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁, где порядок вершин показывает соответствие. Из неё следует, что A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁. Обозначение позволяет сразу понять, какие углы и стороны нужно сравнивать.
Прежде чем сравнивать стороны, нужно сопоставить вершины двух треугольников. Иначе можно взять для отношения стороны, которые находятся в разных положениях, и получить неверный результат. Пары вершин определяют по условию или по записи подобия, а затем по ним находят пары углов и сторон.
Равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон работают вместе. Равные углы показывают, что форма треугольников совпадает, а пропорциональные стороны подтверждают, что длины меняются в одном и том же отношении. Если выполнено только одно условие, определение подобия ещё не проверено целиком.
Порядок букв в записи ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ нужен не для красоты: он закрепляет соответствие вершин. Поэтому угол A сопоставляется с углом A₁, сторона AB — со стороной A₁B₁, а сторона BC — со стороной B₁C₁. Если переставить буквы, пары элементов изменятся, и отношения нужно будет составлять заново.
Когда соответствующие стороны пропорциональны, отношения каждой пары имеют одно значение. Например, если AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁, то это общее значение и есть коэффициент подобия при сравнении первого треугольника со вторым. Важно сохранять один порядок деления во всех дробях: тогда коэффициент описывает одно и то же сравнение.
Подобные треугольники сохраняют форму, но их размеры могут быть разными. Если все стороны одного треугольника увеличить в одинаковое число раз, пропорции и углы не изменятся. У равных треугольников соответствующие стороны равны, а у подобных они могут быть больше или меньше; равные треугольники можно считать частным случаем подобия.
| Элемент | Что выполняется | Как записывается |
|---|---|---|
| Соответствие вершин | Вершины сопоставляются по одинаковому порядку | A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁ |
| Равенство соответствующих углов | Углы в сопоставленных вершинах равны | ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁ |
| Пропорциональность соответствующих сторон | Отношения пар сторон равны | AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁ |
| Коэффициент подобия | Общее отношение соответствующих сторон | k = AB/A₁B₁ |
| Обозначение подобных треугольников | Порядок букв задаёт пары вершин | ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ |
Пользуйтесь таблицей в таком порядке: сначала установите пары вершин, затем сопоставьте углы и стороны. После этого сравните отношения сторон, сохраняя одинаковый порядок деления. Общее значение этих отношений — коэффициент подобия.
Задача 1. Определить, подобны ли треугольники со сторонами 3 см, 4 см, 5 см и 6 см, 8 см, 10 см. Стороны перечислены по возрастанию, поэтому сопоставим их в таком же порядке. Для проверки вычислим отношения сторон первого треугольника ко второму.
Ответ: треугольники подобны, коэффициент подобия первого ко второму равен 1/2.
Задача 2. Для записи ΔABC ∼ ΔDEF указать соответствующие углы и стороны, а также найти коэффициент подобия, если AB = 6 см и DE = 9 см. Сначала читаем запись слева направо: первая вершина соответствует первой, вторая — второй, третья — третьей. Коэффициент ищем в том же направлении — от ΔABC к ΔDEF.
Ответ: указанные пары соответствуют друг другу, коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен 2/3.
Задача 3. В подобных треугольниках стороны одного равны 4 см, 7 см и 9 см, а соответствующая первой сторона другого равна 12 см. Найти две остальные стороны. Поскольку первой стороне 4 см соответствует 12 см, стороны второго треугольника больше в одинаковое число раз. Найдём это число и применим его к двум оставшимся сторонам.
Ответ: 21 см и 27 см.
Сравнивают стороны, которые не являются соответствующими, потому что забывают порядок вершин. Тогда дроби могут отличаться, даже если треугольники подобны. Перед вычислением выпишите пары вершин и сторон, а после проверьте, что в отношениях стоят именно эти пары.
Считают треугольники подобными только по равенству одной пары углов. Один равный угол не подтверждает пропорциональность сторон и равенство остальных соответствующих углов. Чтобы проверить вывод, вернитесь к определению и убедитесь, что выполнены оба условия.
Переворачивают отношение при нахождении коэффициента подобия и получают обратное значение. Например, AB/DE и DE/AB описывают сравнение в противоположных направлениях. Сначала решите, стороны какого треугольника делите на стороны другого, а затем придерживайтесь этого порядка во всех отношениях.
Путают подобные и равные треугольники, ожидая, что соответствующие стороны обязательно равны. У подобных фигур стороны могут отличаться, если их отношения одинаковы. Проверьте себя: равенство сторон нужно для равных треугольников, а для подобных достаточно одной общей пропорции между всеми соответствующими сторонами.
Для этой темы пригодятся знания о видах углов, равенстве фигур, отношениях величин и пропорциях. Именно отношения помогают записать, во сколько раз отличаются соответствующие стороны. Умение работать с углами и сторонами нужно, чтобы верно сопоставлять элементы.
Дальше понятие подобия поможет изучать признаки подобия, находить неизвестные стороны и решать задачи на масштаб. Оно также связано с доказательством теоремы Пифагора и свойствами прямоугольного треугольника. В этих темах подобные треугольники позволяют связывать длины и углы разных фигур.
Можно ли назвать треугольники подобными, если равен только один угол?
Нет, равенства одной пары углов недостаточно для вывода о подобии. Нужно проверить всё определение: равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон.
Как правильно определить соответствующие стороны?
Сначала сопоставьте вершины треугольников, затем соедините названия вершин в том же порядке. Сторона между первой и второй вершинами соответствует стороне между первой и второй вершинами другого треугольника.
Почему важен порядок букв в записи подобных треугольников?
Порядок букв задаёт пары соответствующих вершин. Поэтому из записи ΔABC ∼ ΔDEF следует, что A соответствует D, B — E, а C — F.
Может ли коэффициент подобия быть меньше единицы?
Да. Если сравнивать стороны первого, меньшего треугольника со сторонами второго, большего, отношение будет меньше 1.
Чем подобные треугольники отличаются от равных?
У подобных треугольников сохраняются форма и пропорции, но размеры могут различаться. У равных треугольников соответствующие стороны не только пропорциональны, но и равны.
14.1. Понятие подобных треугольников
