"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Подобие помогает сравнивать фигуры разного размера: их форма сохраняется, соответствующие углы равны, а стороны отличаются в одно и то же число раз. Это свойство используют в задачах на масштаб, измерение расстояний и построение. Гомотетия — способ получить такую фигуру с помощью центра и коэффициента: по ним можно определить положение и размер образа. При подобии площади меняются не так, как длины: они относятся как квадраты коэффициента.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими называют элементы, которые занимают одинаковое положение в фигурах. Это определение помогает понять, сохраняется ли форма при изменении размеров. Одних равных углов для произвольных фигур недостаточно.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих длин одной фигуры к другой. Если его значение равно 2, то соответствующие длины первой фигуры вдвое больше длин второй. Если коэффициент меньше 1, выбранная первая фигура меньше второй. Коэффициент нужен, чтобы точно описать масштаб изменения.
Гомотетия — преобразование с центром O и коэффициентом k, при котором точка A переходит в точку A′ на прямой OA. Расстояние до образа связано с исходным равенством OA′ = |k| · OA. Так можно построить новую фигуру, не меняя её форму. Центр задаёт направление построения для всех точек.
Коэффициент гомотетии — число k, которое задаёт масштаб и расположение образа. Его модуль показывает, во сколько раз меняются расстояния от центра. Знак определяет, на каком луче лежит образ: при плюсе — на том же, при минусе — на противоположном. Поэтому для построения нужно учитывать и модуль, и знак.
При подобии сохраняются углы, потому что фигура не поворачивает отдельные части относительно друг друга и не изгибается. Меняется только масштаб: каждая соответствующая длина умножается на одно и то же число. Если бы стороны изменялись в разных отношениях, форма исказилась бы. Поэтому пропорциональность сторон вместе с равенством углов описывает сохранение формы.
Чтобы найти коэффициент подобия, выбери пару соответствующих сторон и раздели длину одной на длину другой. Затем проверь другие пары: отношения должны совпасть. Например, если стороны одной фигуры вдвое длиннее соответствующих сторон второй, для каждой пары получится одно и то же отношение. Разные результаты обычно означают ошибку в сопоставлении или то, что фигуры не подобны.
Для построения образа точки A сначала проведи прямую через центр O и точку A. При положительном коэффициенте отложи расстояние на луче OA, а при отрицательном — на противоположном луче. Длина нового отрезка должна быть равна |k| · OA. Например, при k = −2 расстояние от центра увеличивается вдвое, но образ оказывается с другой стороны.
При гомотетии все расстояния от центра изменяются одинаково, поэтому лучи и углы между ними сохраняют своё взаимное расположение. Каждая сторона образа параллельна соответствующей стороне исходной фигуры, если сторона не проходит через центр. Значит, соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Так гомотетия даёт фигуру, подобную исходной, и является частным случаем преобразования подобия.
Площадь зависит от двух измерений: например, от длины и ширины прямоугольника. Если каждая соответствующая длина увеличилась в k раз, то и ширина увеличилась в k раз. Их произведение, а значит и площадь, изменяется в k · k = k² раз. Поэтому отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а не самому коэффициенту.
| Что сравниваем | Гомотетия | Подобие | Равные фигуры |
|---|---|---|---|
| Соответствующие углы | Равны | Равны | Равны |
| Отношение соответствующих длин | Постоянно, равно |k| | Постоянно, равно коэффициенту подобия | Равно 1 |
| Изменение размеров | Увеличение или уменьшение | Увеличение или уменьшение | Размеры не меняются |
| Сохранение формы | Да | Да | Да |
| Связь между понятиями | Частный случай подобия | Общее свойство фигур | Частный случай подобия с коэффициентом 1 |
Сначала выбери, что именно нужно сравнить: размеры, углы или способ получения одной фигуры из другой. Затем найди строку таблицы, которая отвечает на этот вопрос. Помни, что гомотетия задаёт конкретное преобразование, а подобие и равенство описывают отношение между фигурами.
У треугольников стороны равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Определи, подобны ли треугольники, и найди коэффициент подобия. Сопоставим стороны в порядке возрастания: 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10. Проверим, одинаковы ли отношения соответствующих сторон.
Ответ: треугольники подобны, коэффициент второго к первому равен 2. Если считать в обратном порядке, коэффициент будет ½.
На карте отрезку длиной 2 см соответствует расстояние 6 км. Найди расстояние, которому соответствует отрезок 5 см. Масштаб карты постоянен, значит каждому сантиметру на карте соответствует одинаковое расстояние на местности. Сначала найдём это расстояние, а затем умножим его на длину нового отрезка.
Ответ: отрезку 5 см соответствует расстояние 15 км. Единицы измерения здесь не нужно переводить друг в друга, поскольку мы сравниваем пары «сантиметры на карте — километры на местности».
При гомотетии с центром O и коэффициентом −2 точка A находится на расстоянии 3 см от O. Построй образ точки A и найди расстояние от него до O. Отрицательный знак указывает сторону, а модуль коэффициента — длину нового отрезка. Значит образ нужно отложить на противоположном луче.
Ответ: образ A′ лежит по другую сторону от O, а расстояние OA′ равно 6 см. Если отложить 6 см на прежнем луче, знак коэффициента будет учтён неверно.
Считать фигуры подобными только по пропорциональным сторонам рискованно: у фигур могут не совпасть соответствующие углы. Эту ошибку допускают, потому что отношения легко проверить вычислением, а углы часто оставляют без внимания. Для проверки используй определение или подходящий признак подобия. Для треугольников, например, пропорциональности трёх пар сторон достаточно по признаку подобия.
Если изменить порядок соответствия вершин, отношения сторон могут оказаться обратными или несогласованными. Так происходит, когда стороны сравнивают просто по длине, не выяснив, какие элементы отвечают друг другу. Сначала отметь пары соответствующих вершин, а затем записывай отношения в одном порядке. Самопроверка проста: коэффициент для каждой пары должен совпасть.
При отрицательном коэффициенте образ точки иногда откладывают на том же луче, что и исходную точку. Причина — внимание только к модулю, который задаёт длину, и забытый знак. Проверь построение: при k < 0 центр должен находиться между точкой и её образом. При k > 0 обе точки лежат на одном луче от центра.
Ещё одна ошибка — умножить площадь на k, а не на k². Так рассуждают, перенося правило для длин на площадь и забывая, что площадь зависит от двух измерений. Если длины увеличились в 3 раза, обе стороны выбранного прямоугольника тоже увеличились втрое, а площадь — в 9 раз. Для проверки возведи коэффициент изменения длин в квадрат.
Для работы с подобием нужны отношения и пропорции: без них нельзя сравнить длины и найти масштаб. Также пригодятся равенство треугольников и свойства углов, чтобы правильно установить соответствие элементов. Далее подобие используется в признаках подобия треугольников, при измерении недоступных расстояний и работе с картами. Гомотетия готовит к изучению преобразований плоскости и геометрических построений.
Как понять, какие стороны фигур считать соответствующими?
Сначала сопоставь вершины с равными углами или с одинаковым положением в записи фигур. Затем сравни стороны, лежащие напротив соответствующих вершин. Порядок соответствия нужно сохранять во всех отношениях.
Достаточно ли равенства углов, чтобы доказать подобие любых фигур?
Нет, для произвольных фигур равенства соответствующих углов недостаточно: стороны могут иметь разные соотношения. Нужно также проверить пропорциональность соответствующих сторон. Для некоторых фигур действуют специальные признаки, например для треугольников.
Чем гомотетия отличается от подобия?
Подобие описывает свойство двух фигур: одинаковую форму и пропорциональные размеры. Гомотетия — конкретное преобразование с заданными центром и коэффициентом, которое строит образ фигуры. Поэтому гомотетия является одним из способов получить подобную фигуру.
Что означает отрицательный коэффициент гомотетии?
Отрицательный знак означает, что образ точки находится по другую сторону от центра на той же прямой. Модуль коэффициента задаёт длину: расстояние от центра до образа равно исходному расстоянию, умноженному на модуль коэффициента.
Почему площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия?
Площадь зависит от двух измерений: например, длины и ширины. Если каждое из них увеличить в k раз, произведение увеличится в k · k = k² раз. Поэтому отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения соответствующих длин.
Раздел 5. Подобие и гомотетия
