59. Первый признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, они имеют одинаковую форму, хотя размеры могут быть разными. Это понятие позволяет сравнивать треугольники и находить неизвестные стороны по известным отношениям.

Соответственные углы — углы двух треугольников, занимающие одинаковое положение при установленном соответствии вершин. Если вершины A и A₁ соответствуют друг другу, то углы при них тоже соответствуют. Это помогает не перепутать пары углов при доказательстве подобия.

Соответственные стороны — стороны двух треугольников, лежащие напротив соответствующих углов. Например, стороне, лежащей напротив угла A, соответствует сторона напротив угла A₁. Найдя такие пары, можно правильно записать пропорцию сторон.

Первый признак подобия треугольников — признак, по которому треугольники подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Для применения признака достаточно доказать равенство двух пар углов. Он нужен, чтобы установить подобие без измерения сторон.

Как это устроено

Для подобия требуется равенство всех соответствующих углов, но проверять каждую пару отдельно не нужно. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому после равенства двух пар третий угол в каждом треугольнике получается как остаток до 180°. Остатки равны, значит, совпадает и третья пара углов. Так из двух равенств следует нужное равенство всех углов.

До применения признака установи, какая вершина одного треугольника соответствует каждой вершине другого. Сначала сопоставь углы, величины которых равны или уже удалось доказать равными. Например, если ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то вершины A и A₁, а также B и B₁ соответствуют друг другу; оставшиеся вершины C и C₁ тоже образуют пару. Такая запись заранее задаёт правильный порядок букв в обозначении подобных треугольников.

Равенство третьих углов можно показать вычислением. Если в первом треугольнике углы равны α и β, то третий равен 180° − α − β; при тех же двух углах во втором треугольнике остаток будет таким же. Поэтому, установив две пары равных углов и соответствие вершин, записывают вывод о подобии по первому признаку. Отдельно измерять или доказывать равенство третьей пары не требуется.

После доказательства подобия соответствующие стороны пропорциональны по определению подобных треугольников. Это не означает, что стороны равны: например, все стороны одного треугольника могут быть вдвое больше соответствующих сторон другого. Если △ABC ∼ △A₁B₁C₁, то AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. Правильные пары сторон задаёт порядок соответствующих вершин.

Равные углы не всегда сразу записаны в условии, поэтому сначала выясняют, откуда они следуют. На рисунке равенство могут отмечать одинаковыми дугами или обозначать буквами; при пересечении прямых можно использовать равенство вертикальных углов. Если прямые параллельны, подходящие углы равны по свойствам углов при параллельных прямых и секущей. После получения двух пар равных углов применяют признак, а не делают вывод о подобии по одному равенству.

Первый признак подобия треугольников

Пользуйся таблицей как последовательностью проверки: сначала найди первую пару равных углов, затем вторую. После этого равенство третьей пары следует из суммы углов треугольника. Последняя строка показывает вывод и то, что можно использовать после доказательства.

Разбор задач

В задаче сказано, что ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Требуется доказать подобие △ABC и △A₁B₁C₁. Равные углы сразу задают пары вершин A с A₁ и B с B₁, поэтому оставшиеся вершины C и C₁ также соответствуют друг другу.

1. Сопоставим вершины по условию: A ↔ A₁ и B ↔ B₁; значит, C ↔ C₁. Это важно, поскольку вывод о подобии нужно записать в том же порядке. Получаем соответствие △ABC и △A₁B₁C₁.

2. В условии уже даны две пары соответственно равных углов: ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. По первому признаку этого достаточно, чтобы треугольники были подобны. Равенство третьих углов следует из суммы углов треугольника.

3. Записываем результат: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. По подобию соответствующие стороны пропорциональны: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. Эта пропорция пригодится, если потребуется найти неизвестную сторону.

Ответ: △ABC ∼ △A₁B₁C₁ по первому признаку подобия.

Прямые AB и CD пересекаются в O; даны ∠AOC = ∠BOD и ∠OAC = ∠OBD. Нужно доказать подобие △AOC и △BOD. Здесь первая пара углов связана с пересечением прямых, а вторая указана в условии.

1. Угол AOC и угол BOD — вертикальные, так как их стороны лежат на двух пересекающихся прямых. Вертикальные углы равны, следовательно, ∠AOC = ∠BOD. Это подтверждает первую пару соответствующих углов.

2. Второе равенство, ∠OAC = ∠OBD, дано. Значит, соответствие вершин такое: A ↔ B, O ↔ O, C ↔ D. Проверяем порядок: △AOC соответствует △BOD.

3. Получены две пары соответственно равных углов, поэтому применяем первый признак подобия. Записываем △AOC ∼ △BOD. При таком порядке соответствующие стороны AO и BO, OC и OD, AC и BD пропорциональны.

Ответ: △AOC ∼ △BOD по первому признаку подобия.

В △ABC точки D и E лежат соответственно на AB и AC, причём DE ∥ BC. Нужно доказать подобие △ADE и △ABC, а затем найти неизвестную сторону по пропорции. Числовых длин в условии нет, поэтому неизвестную сторону можно выразить через остальные обозначенные отрезки.

1. Угол DAE совпадает с углом BAC: лучи AD и AB направлены по одной прямой, как и AE и AC. Значит, ∠DAE = ∠BAC. Это первая пара равных углов.

2. Из DE ∥ BC следуют равенства соответственных углов при секущих AB и AC: ∠ADE = ∠ABC и ∠AED = ∠ACB. Для первого признака достаточно любого одного из этих равенств вместе с уже найденной парой. Соответствие вершин получается A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.

3. По первому признаку △ADE ∼ △ABC. Поэтому AD/AB = AE/AC = DE/BC; выбираем отношение, содержащее неизвестную сторону. Например, если неизвестно DE, то DE = BC · AD/AB, если известны BC, AD и AB.

Ответ: △ADE ∼ △ABC; неизвестную сторону находят из пропорции AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Типичные ошибки

1. Сравнивают углы, не установив соответствие вершин. Тогда можно записать треугольники в неверном порядке и ошибочно сопоставить стороны. Обычно это происходит, когда смотрят только на буквы, а не на равные углы. Проверь себя: каждой вершине в записи подобия должна соответствовать вершина с равным углом.

2. Считают достаточным равенство одного угла. Один угол может быть равен углу другого треугольника, но о двух остальных парах пока ничего не известно. Ошибку допускают, принимая частичное сходство за доказательство подобия. Проверь, указаны ли две пары соответственно равных углов.

3. Путают равные углы с пропорциональными сторонами. Из одного равенства углов нельзя сразу получить подобие: нужно доказать равенство ещё одной пары углов. Такая ошибка возникает, если пропустить обоснование второго равенства. Перед выводом назови обе пары углов и укажи, откуда следует каждая.

4. Записывают пропорцию для несоответствующих сторон. Даже при верном доказательстве подобия можно получить неверное отношение, если стороны сопоставлены неправильно. Это случается, когда ориентируются только на порядок букв или на вид рисунка. Проверь каждую пару по концам: соответствующие стороны соединяют соответствующие вершины.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны сумма углов треугольника, виды углов, вертикальные углы и углы, возникающие при параллельных прямых. Эти знания помогают получить две пары равных углов, даже если равенство не дано напрямую. Определение подобных треугольников объясняет, почему после доказательства углы равны, а стороны пропорциональны. Первый признак затем используют для доказательства пропорций и нахождения неизвестных отрезков, а также при изучении других признаков подобия.

Что запомнить

• Для первого признака достаточно равенства двух пар соответственно равных углов.
• Третья пара углов равна автоматически.
• Перед применением признака нужно установить соответствие вершин.
• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны.
• У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны.
• Равенство одного угла само по себе не доказывает подобие треугольников.