60. Второй признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Второй признак подобия треугольников — условие, по которому треугольники подобны, если две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны. Иными словами, размеры сторон могут различаться, но их отношения совпадают, а стороны образуют одинаковый угол. Признак нужен, чтобы доказать подобие, не проверяя все стороны и углы.

Соответствующие стороны — стороны разных треугольников, занимающие одинаковое положение относительно соответствующих углов. Например, если вершины A и A₁ сопоставлены, то сторона AB может соответствовать A₁B₁. Это понятие помогает составить верные отношения и не перепутать стороны.

Угол между двумя сторонами — угол, образованный именно теми сторонами, отношения которых сравнивают. Для сторон AB и AC это ∠A, потому что обе стороны выходят из вершины A. Указание на этот угол не позволяет применить признак к случайному равному углу.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон подобных треугольников. Например, при соответствии AB и A₁B₁ коэффициент можно записать как k = AB/A₁B₁. Он показывает, во сколько раз одна фигура больше другой, и помогает находить неизвестные длины.

Как это устроено

Для признака сравнивают только две пары сторон и угол между ними, потому что эти данные уже задают нужное соотношение формы треугольников. Если стороны одного треугольника увеличены в одинаковое число раз, а угол между ними не изменён, его стороны сохраняют взаимное расположение. Поэтому остальные стороны тоже оказываются пропорциональными, а оставшиеся углы — равными.

Пропорциональность двух пар сторон записывают отношением соответствующих длин, например AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁. Это означает, что обе стороны первого треугольника отличаются от соответствующих сторон второго в одно и то же число раз. Перед записью нужно установить соответствие: нельзя случайно поставить в одном отношении стороны, расположенные по-разному относительно угла.

Угол должен быть именно между выбранными сторонами, потому что именно он показывает, как эти стороны соединены в треугольнике. Равенство угла при другой вершине не задаёт угол раскрытия сравниваемой пары сторон. Поэтому пропорциональность сторон вместе с равенством постороннего угла не образует условие второго признака.

Чтобы применить признак, сначала выдели две пары пропорциональных сторон, затем найди углы, которые образованы этими сторонами. Если углы равны, можно заключить, что треугольники подобны. Например, из AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁ следует подобие, если ∠A и ∠A₁ — углы между указанными сторонами.

После доказательства подобия запиши соответствие вершин в том же порядке, в каком они сопоставлены по равным углам и сторонам. Если A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁, запись будет △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Тогда AB соответствует A₁B₁, AC — A₁C₁, а BC — B₁C₁; все три пары можно включить в пропорцию.

Второй признак подобия треугольников

Пользуйся таблицей сверху вниз: установи пары сторон, проверь их пропорциональность и найди угол между ними. Только после проверки равенства именно этих углов записывай вывод о подобии. Последняя строка помогает перейти от доказательства к вычислению неизвестной длины.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ дано AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Требуется доказать подобие. Отношения показывают, что стороны AB и AC соответствуют A₁B₁ и A₁C₁. Углы A и A₁ образованы именно этими сторонами, значит, выполнены все условия второго признака.

1. Сопоставим вершины A и A₁: углы при них равны.
2. По записи отношений сопоставим AB с A₁B₁, а AC с A₁C₁. Обе пары сторон пропорциональны.
3. Применим второй признак: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники подобны, соответствие вершин — A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Значит, BC соответствует B₁C₁, а остальные отношения сторон можно записать с тем же порядком. Проверка порядка особенно важна, если в условии буквы перечислены иначе.

Задача 2

У двух треугольников указаны пары сторон 6 см и 9 см, 8 см и 12 см, а углы между ними равны. Нужно найти неизвестную сторону одного треугольника. Сначала проверим признак: 6/9 = 2/3 и 8/12 = 2/3, а углы между соответствующими парами равны. Значит, треугольники подобны с коэффициентом 2/3 при отношении сторон первого ко второму.

1. Сопоставим стороны 6 см и 9 см, затем 8 см и 12 см.
2. Проверим отношения: 6/9 = 8/12 = 2/3. Равенство углов между этими сторонами подтверждает второй признак.
3. Для неизвестной третьей стороны x понадобится длина соответствующей стороны y другого треугольника: x/y = 2/3, поэтому x = 2y/3.

Ответ: данных недостаточно, чтобы получить численное значение третьей стороны: длина соответствующей стороны второго треугольника не указана. Например, если y = 15 см, то x = 10 см; при другом y результат будет другим. Подобие позволяет составить пропорцию, но для вычисления нужны известные длины соответствующей пары.

Задача 3

В △ABC точки D и E лежат соответственно на AB и AC, причём AD/AB = AE/AC. Нужно доказать подобие △ADE и △ABC и выразить DE через известные стороны. Сторонами около угла A в малом треугольнике служат AD и AE, а в большом — AB и AC. У них общий угол ∠A, поэтому он равен сам себе и является углом между сравниваемыми сторонами.

1. Из условия получаем пропорциональность AD/AB = AE/AC.
2. Угол DAE совпадает с углом BAC: обе пары лучей лежат на прямых AB и AC.
3. По второму признаку △ADE ∼ △ABC, причём A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.
4. Соответствующие стороны дают DE/BC = AD/AB. Следовательно, DE = BC · AD/AB.

Ответ: △ADE ∼ △ABC, а DE = BC · AD/AB. Для численного ответа подставь известные значения BC, AD и AB. Если они не заданы, формула выражает искомую длину через стороны исходного треугольника.

Типичные ошибки

Сравнивать несоответствующие стороны. Так случается, если сопоставлять стороны только по буквам, не учитывая их положение относительно равного угла. В результате отношения могут оказаться записаны неверно, даже если все нужные длины найдены. Проверь, что соответствующие стороны образуют равные углы и занимают одинаковое положение в треугольниках.

Использовать равенство любого угла. Иногда за нужный принимают угол, который не образован пропорциональными сторонами. Ученик может помнить о равенстве углов, но забыть, что второй признак требует конкретный угол между выбранными сторонами. Для проверки назови обе стороны каждой пары и убедись, что они выходят из вершин равных углов.

Путать пропорциональность с равенством сторон. Пропорциональность означает одинаковое отношение длин, а не обязательное совпадение самих длин. Ошибка возникает, когда стороны разных размеров считают неподходящими для признака. Пересчитай отношения: например, 6/9 и 8/12 равны, хотя соответствующие стороны не равны.

Неверно указывать порядок вершин. Если в записи подобия поменять вершины местами, изменится соответствие сторон и углов. Обычно это происходит, когда порядок букв записывают наугад после доказательства. Перед записью проведи соответствие от равных углов, затем проверь по нему все пары сторон.

Связь с другими темами

Для работы со вторым признаком нужно знать, что такое подобные треугольники и пропорция, а также уметь находить равные общие и вертикальные углы. Первый признак тоже помогает устанавливать подобие, но использует равенство двух углов. Дальше признаки подобия применяют в задачах с параллельными прямыми и для нахождения неизвестных отрезков через коэффициент подобия. В практике пропорциональные треугольники помогают оценивать недоступные расстояния: измеряют доступные стороны и используют подобие.

Что запомнить

• По второму признаку треугольники подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого.
• Углы между этими сторонами должны быть равны.
• Важно установить правильное соответствие сторон и вершин.
• После доказательства подобия соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
• Общий или вертикальный угол часто помогает подтвердить равенство углов.
• Для нахождения неизвестного отрезка после установления подобия составляют пропорцию.