61. Третий признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, у них одинаковая форма, но размеры могут различаться. Понятие подобия помогает сравнивать фигуры и находить неизвестные длины, не измеряя их напрямую.

Соответствующие стороны — стороны, лежащие напротив соответствующих равных углов. Если записано, что треугольники ABC и DEF подобны и вершины перечислены в соответствующем порядке, то A соответствует D, B — E, C — F. Значит, сторонам AB, BC и AC соответствуют DE, EF и DF; это соответствие нужно определить до составления пропорции.

Пропорциональные стороны — стороны, отношения которых равны. Для треугольников ABC и DEF с указанным соответствием это записывают так: AB/DE = BC/EF = AC/DF. Равенство всех трёх отношений показывает, что размеры сторон меняются в одном и том же отношении.

Третий признак подобия треугольников — правило, позволяющее установить подобие по пропорциональности трёх пар соответствующих сторон. Он особенно полезен, когда известны длины сторон, а сведения об углах отсутствуют. Чтобы применить признак, нужно проверить все три пары, а не только две.

Как это устроено

Третий признак формулируется так: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, то треугольники подобны. Например, достаточно получить равенство отношений AB/DE = BC/EF = AC/DF. Тогда стороны изменяются в одном масштабе, а форма треугольников совпадает.

Соответствие сторон имеет значение, потому что сравниваются не любые длины, а стороны, занимающие одинаковое положение относительно вершин. Если в одном треугольнике сопоставить самую длинную сторону с самой короткой другого, отношения могут оказаться разными. Порядок вершин в записи подобия задаёт соответствие, а если его не указали, сопоставить стороны помогают равные углы или длины.

Идею доказательства можно понять через построение. На стороне одного треугольника откладывают отрезок нужной длины и проводят параллельную второй стороне прямую, чтобы получить меньший треугольник. Из равенства отношений сторон следует, что этот построенный треугольник имеет стороны, равные соответствующим сторонам второго треугольника; по первому признаку подобия получаются равные углы, а значит, исходные треугольники подобны.

В задаче сначала выписывают стороны в установленном порядке, а затем составляют равенство трёх отношений. Например, при соответствиях AB ↔ DE, BC ↔ EF и AC ↔ DF проверяют AB/DE = BC/EF = AC/DF. Если равенства выполняются, применяют третий признак и делают вывод о подобии; если хотя бы одно отношение отличается, этот признак не подходит.

После установления подобия можно найти неизвестную сторону, используя общий коэффициент подобия. Если известные соответствующие стороны относятся как 2 к 3, то и неизвестные стороны должны иметь такое же отношение. Составьте пропорцию, решите её и проверьте результат: отношение найденной длины к соответствующей стороне второго треугольника должно совпасть с коэффициентом.

Признаки подобия треугольников

Сначала посмотрите, какие данные есть в задаче, и выберите подходящий признак. Если известны три пары сторон, проверьте третье условие; равенства только двух отношений недостаточно.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Стороны одного треугольника равны 3, 4 и 5, а другого — 6, 8 и 10. Определите, подобны ли треугольники. Удобно сопоставить стороны в порядке возрастания, так как это позволяет сравнить одинаковые по величине стороны.

1. Составим отношения соответствующих сторон: 3/6, 4/8 и 5/10.
2. Вычислим их: 3/6 = ½, 4/8 = ½, 5/10 = ½. Все три отношения равны.
3. По третьему признаку треугольники подобны, коэффициент отношения сторон равен ½.

Ответ: треугольники подобны.

Задача 2

Условие. В треугольниках ABC и DEF известно: AB = 6, BC = 9, AC = 12, DE = 8, EF = 12. Треугольники подобны, вершины соответствуют в порядке ABC и DEF. Найдём DF. Так как треугольники уже признаны подобными, отношения соответствующих сторон должны совпадать.

1. По порядку вершин AB соответствует DE, а AC — DF.
2. Найдём отношение сторон первого треугольника ко второму: AB/DE = 6/8 = ¾. Для проверки используем другую пару: BC/EF = 9/12 = ¾.
3. Запишем пропорцию для неизвестной стороны: AC/DF = ¾, то есть 12/DF = ¾. Отсюда DF = 12 · 4/3 = 16.

Ответ: DF = 16. Проверка: 12/16 = ¾, это тот же коэффициент, что и для остальных соответствующих сторон.

Задача 3

Условие. Периметры двух треугольников равны 24 см и 40 см. Стороны первого указаны как 5 см, 7 см и 12 см, второго — 10 см, 14 см и 16 см. Можно ли доказать подобие по третьему признаку? Одного сравнения периметров для такого вывода недостаточно, поэтому проверим сначала корректность условия и затем отношения сторон.

1. Проверим стороны первого треугольника: 5 + 7 = 12. Сумма двух сторон должна быть больше третьей, поэтому фигура с такими длинами не является треугольником.
2. Даже если не учитывать это противоречие, отношения сторон в порядке возрастания равны 5/10 = ½, 7/14 = ½ и 12/16 = ¾. Третье отношение отличается от первых двух.
3. Следовательно, пропорциональности трёх пар сторон нет, и по третьему признаку подобие доказать нельзя. Отношение периметров 24/40 = 3/5 само по себе этого не меняет.

Ответ: доказать подобие нельзя; кроме того, первое условие не задаёт существующий треугольник.

Типичные ошибки

• Сравнивать стороны в случайном порядке — значит сопоставлять несоответствующие длины, поэтому отношения могут не совпасть. Так ошибаются, когда не учитывают порядок вершин или выбирают стороны наугад. Проверьте соответствие по записи треугольников, равным углам или длинам сторон.

• Проверять только два отношения недостаточно: третья пара может иметь другой масштаб. Ошибка возникает потому, что два равных отношения кажутся убедительным подтверждением подобия. Запишите все три отношения и сравните их, прежде чем применять признак.

• Равенство отдельных сторон не означает пропорциональность всех сторон: например, совпадение одной пары ничего не говорит об остальных. Это условие иногда принимают за достаточное, потому что треугольники выглядят похожими по одной длине. Для самопроверки составьте три отношения и убедитесь, что они равны.

• Равенство или пропорциональность периметров и площадей сами по себе не доказывают подобие. Ошибка возникает из-за того, что эти величины связаны с размером фигуры. Проверяйте условия признака подобия: равенство углов или пропорциональность соответствующих сторон.

Связь с другими темами

Для применения третьего признака нужно знать определение подобных треугольников, уметь находить соответствующие стороны и составлять пропорции. Первый и второй признаки помогают в ситуациях, где известны углы или две стороны с углом между ними; третий дополняет их, когда заданы три пары сторон. Установив подобие, можно решать задачи на неизвестные длины и применять свойства подобных треугольников. Например, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Что запомнить

• Третий признак основан на пропорциональности трёх пар соответствующих сторон.
• Все три отношения соответствующих сторон должны быть равны.
• Порядок соответствия сторон необходимо определить до составления пропорции.
• По третьему признаку можно заключить, что треугольники подобны.
• У подобных треугольников отношения соответствующих сторон одинаковы.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.