"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Подобие треугольников помогает находить неизвестные отрезки и доказывать свойства параллельных прямых. Если в треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, она отсечёт меньший треугольник, подобный исходному. Из этого подобия следует пропорциональность частей двух других сторон. Обратное рассуждение позволяет установить параллельность, а для средней линии — доказать, что она равна половине третьей стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорциональные отрезки — отрезки, отношения длин которых равны. Например, равенство AM/MB = AN/NC означает, что отрезки AM и MB относятся так же, как AN и NC. Пропорцию можно проверить, вычислив каждое отношение или перемножив крайние и средние члены: для a/b = c/d должно выполняться ad = bc. Такой способ помогает сравнивать части сторон и проверять, подходит ли условие теоремы.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Если M и N — середины AB и AC, то AM = MB и AN = NC. Средняя линия параллельна третьей стороне BC и равна половине её длины. Это свойство позволяет находить длины отрезков и устанавливать параллельность без измерений.
Теорема о пропорциональных отрезках утверждает: прямая, параллельная одной стороне треугольника, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. Например, если MN ∥ BC, то AM/MB = AN/NC. Теорема нужна, чтобы перейти от параллельности к числовому соотношению отрезков; обратное утверждение помогает сделать вывод в противоположном направлении.
Пусть в △ABC точки M и N лежат на AB и AC, а MN ∥ BC. Прямая MN отсекает треугольник AMN внутри исходного. У этих треугольников общий угол A, а углы AMN и ABC равны как соответственные углы при параллельных прямых; так же равны углы ANM и ACB. Поэтому △AMN подобен △ABC по двум углам. Именно параллельность даёт равенство углов, а оно служит причиной подобия.
Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: AM/AB = AN/AC = MN/BC. Чтобы получить пропорциональность именно частей сторон, можно учесть, что AB = AM + MB и AC = AN + NC. Из равенства AM/AB = AN/AC после подстановки сумм и преобразования получается AM/MB = AN/NC. Значит, параллельная прямая делит стороны не обязательно пополам, но обязательно в одинаковом отношении.
Можно рассуждать и наоборот. Если точки M и N лежат на сторонах AB и AC, а AM/MB = AN/NC, обратная теорема о пропорциональных отрезках позволяет заключить, что MN ∥ BC. Само равенство отношений — лишь числовое условие; параллельность из него следует не по определению, а благодаря отдельному доказанному утверждению. Перед применением обратной теоремы проверь, что отрезки сравниваются на двух сторонах одного треугольника.
Для средней линии M и N — середины AB и AC, поэтому AM/MB = AN/NC = 1. По обратной теореме MN ∥ BC, а значит, △AMN подобен △ABC. Сторона AM составляет половину AB, следовательно, коэффициент подобия малого треугольника к большому равен ½. Такой же коэффициент у соответствующих сторон: MN/BC = ½, откуда MN = BC/2.
В задаче на отрезки сначала найди два треугольника, которые могут быть подобны: часто это маленький треугольник внутри большого. Обоснуй подобие равенством углов, затем сопоставь вершины и только после этого записывай пропорцию соответствующих сторон. Если требуется доказать параллельность, проверь пропорциональность частей двух сторон и используй обратную теорему. Так геометрическая схема превращается в понятное вычисление или доказательство.
| Что известно | Что можно заключить | На чём основан вывод |
|---|---|---|
| Прямая параллельна одной стороне треугольника | Две другие стороны разделены на пропорциональные отрезки | Подобие отсечённого и исходного треугольников |
| Равенство отношений отрезков на двух сторонах | Прямая параллельна третьей стороне | Обратная теорема о пропорциональных отрезках |
Пользуйся первой строкой, когда параллельность уже дана и нужно найти или сравнить части сторон. Вторая строка подходит, если отношения известны, а параллельность требуется доказать. В обоих случаях следи, чтобы сравнивались соответствующие отрезки на двух сторонах одного треугольника.
Задача 1. В △ABC точки M и N лежат соответственно на AB и AC, MN ∥ BC. Найти AN, если AM = 4, MB = 6 и AC = 15. Параллельность позволяет рассмотреть подобные треугольники AMN и ABC. Нужно правильно сопоставить стороны, а затем найти AC как сумму частей.
Ответ: AN = 6.
Задача 2. В △ABC точки M и N — середины AB и AC. Доказать, что MN ∥ BC и MN = BC/2. Середины дают равные пары частей сторон, поэтому подходит обратная теорема о пропорциональных отрезках. После доказательства параллельности можно применить подобие и сравнить соответствующие стороны.
Ответ: MN ∥ BC, MN = BC/2.
Задача 3. В △ABC точки M на AB и N на AC таковы, что AM = 3, MB = 5, AN = 6 и NC = 10. Доказать, что MN ∥ BC. Здесь параллельность не дана, поэтому сравниваем части сторон и используем обратное утверждение. Отношения нужно записать в одинаковом порядке: первая часть к оставшейся части.
Ответ: MN параллельна BC.
Первая ошибка — записывать отношения в разном порядке, например AM/MB и NC/AN. Тогда сравниваются не соответствующие части сторон, и теорему применить нельзя. Так часто происходит, когда при записи дроби смотрят только на числа, а не на расположение точек. Проверь себя: в обеих дробях сначала должна стоять часть от вершины треугольника, а затем оставшаяся часть.
Вторая ошибка — считать, что равенство отношений само по себе доказывает параллельность. Равенство является условием, а вывод о параллельности делают по обратной теореме о пропорциональных отрезках. Укажи эту теорему и проверь, что точки находятся на двух сторонах одного треугольника. Третья ошибка — сравнивать стороны треугольников, не установив их подобие и соответствие вершин. Сначала докажи подобие, запиши вершины в соответствующем порядке и лишь затем составляй пропорцию.
Четвёртая ошибка — принимать среднюю линию за отрезок той же длины, что и третья сторона. Путают параллельность с равенством длин, потому что оба свойства относятся к одной паре отрезков. Проверь вывод по подобию: коэффициент для средней линии равен ½, поэтому она параллельна третьей стороне и вдвое короче её.
Для этой темы нужны признаки подобия треугольников, свойства параллельных прямых и умение составлять пропорции. Равенство углов при параллельных прямых помогает доказать подобие, а пропорция даёт способ вычислить неизвестную длину. Теорема о пропорциональных отрезках используется при изучении средней линии треугольника и трапеции. Эти же приёмы помогают находить недоступные расстояния и решать задачи, где длины связаны отношениями.
Как понять, какие треугольники нужно рассмотреть в задаче?
Ищи треугольники, у которых есть общий угол и стороны, связанные параллельными прямыми, либо равные углы. Если прямая параллельна стороне большого треугольника, обычно рассматривают отсечённый меньший треугольник и исходный. Затем проверь признак подобия и запиши соответствие вершин.
Почему параллельная прямая делит стороны треугольника пропорционально?
Параллельная сторонам прямая образует с ними равные соответствующие углы. Поэтому отсечённый треугольник подобен исходному, а отношения соответствующих сторон равны. Из этих отношений и получается пропорция частей двух сторон.
Как доказать, что две прямые параллельны, используя отношения отрезков?
Сначала проверь, что точки лежат на двух сторонах одного треугольника, а соответствующие отношения частей этих сторон равны. Затем примени обратную теорему о пропорциональных отрезках: равенство таких отношений означает, что отрезок между точками параллелен третьей стороне. Одного равенства отношений без ссылки на это утверждение недостаточно.
Почему средняя линия треугольника равна половине третьей стороны?
Средняя линия соединяет середины двух сторон, поэтому каждая из этих сторон разделена в отношении 1:1. По обратной теореме отрезок между серединами параллелен третьей стороне, а соответствующие треугольники подобны. Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен ½, значит, средняя линия вдвое короче третьей стороны.
Как не перепутать соответствующие стороны при составлении пропорции?
Запиши вершины подобных треугольников в соответствующем порядке, например △AMN и △ABC: A соответствует A, M — B, N — C. После этого сопоставляй стороны по парам вершин: AM и AB, AN и AC, MN и BC. В обеих частях пропорции соблюдай один и тот же порядок.
§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач
