§ 13. Первый признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, у них одинаковая форма, но не обязательно одинаковый размер. Это понятие позволяет переносить сведения об углах на соотношения длин и решать задачи, не измеряя каждый отрезок.

Соответствующие вершины и стороны занимают одинаковое положение в записи подобных треугольников. Чтобы установить соответствие, сравнивают углы: вершины с равными углами сопоставляют друг с другом. Например, если ∠A = ∠A′ и ∠B = ∠B′, то A соответствует A′, B — B′, а оставшиеся вершины C и C′ тоже соответствуют.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников. Если △ABC ∼ △A′B′C′, то AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. Значение отношения не меняется при выборе другой пары соответствующих сторон, поэтому можно взять ту пару, длины которой известны.

Первый признак подобия треугольников утверждает: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Слова «соответственно равны» означают, что углы сопоставлены правильно, а не просто взяты любые два равных угла. Признак помогает сначала доказать подобие, а затем использовать пропорциональность сторон.

Как это устроено

Почему достаточно проверить только две пары углов? Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол вычисляется как 180° минус сумма двух остальных. Если соответствующие первые два угла равны, их суммы одинаковы, значит, одинаковы и оставшиеся углы. Так равенство двух пар приводит к равенству всех трёх пар углов.

Соответствие вершин находят по равным углам, а соответствие сторон — по концам этих сторон. Например, если A ↔ A′, B ↔ B′ и C ↔ C′, то AB ↔ A′B′, BC ↔ B′C′ и AC ↔ A′C′. Поэтому порядок записи важен: запись △ABC ∼ △A′C′B′ ошибочно меняет местами соответствия B и C.

Пропорциональность сторон можно объяснить построением. Пусть в △ABC равны углы A и A′, B и B′ в другом треугольнике; на сторонах AB и AC отложим отрезки AD и AE, равные соответственно A′B′ и A′C′. Через E проведём прямую, параллельную BC, до пересечения с AB в точке D: тогда по свойству параллельных прямых углы треугольника ADE равны соответствующим углам ABC, а значит, DE = BC по подобию или, в доказательстве признака, перенос углов и построение дают равный исходному треугольник ADE.

Более привычная формулировка доказательства использует обратное построение: отложим на AB отрезок AD, равный стороне второго треугольника, и проведём через D прямую, параллельную BC. Полученный малый треугольник имеет углы, равные углам ABC, поэтому его стороны относятся к сторонам ABC одинаково; по двум равным углам он подобен ABC. Сравнение с исходным треугольником показывает, что второй треугольник имеет те же соответствующие углы и стороны в том же отношении, что и ABC, откуда следует требуемое подобие. Именно параллельная прямая создаёт треугольник с равными углами и пропорциональными сторонами.

Вывод записывают после перечисления равных углов и определения соответствующих вершин. Например, из ∠A = ∠A′ и ∠B = ∠B′ следует, что △ABC ∼ △A′B′C′ по первому признаку. Такая запись сразу показывает, какие стороны можно поставить в пропорцию. В задаче сначала доказывают подобие, а уже потом используют отношение соответствующих сторон для поиска неизвестной длины.

Соответствие элементов подобных треугольников

Сначала найди в таблице строку с вершинами, чтобы проверить, правильно ли записано подобие. Затем по строке сторон составь пары для пропорции, не меняя порядок соответствия. Если известны два угла, строка условия показывает, что измерять стороны для первого признака не требуется.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A′B′C′ углы A и A′ равны, углы B и B′ равны. Нужно определить, подобны ли треугольники, и записать соответствие вершин. Даны ровно две пары равных углов, поэтому можно применить первый признак. Остаётся сохранить соответствие в записи.

1. Сопоставляем равные углы: A ↔ A′ и B ↔ B′.
2. Третьи вершины также соответствуют: C ↔ C′, поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°.
3. По первому признаку получаем △ABC ∼ △A′B′C′.

Ответ: треугольники подобны; соответствие вершин — A ↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C′. Порядок букв в записи показывает пары соответствующих вершин. Длины сторон для этого вывода находить не требуется.

Задача 2

Треугольники ABC и A′B′C′ подобны, причём A соответствует A′, B — B′, C — C′. Известно, что AB = 6, A′B′ = 9, BC = 8; нужно найти B′C′. Стороны AB и A′B′ соответствуют друг другу, как и BC и B′C′. Поэтому отношение длин первой пары равно отношению длин второй пары.

1. Записываем пропорцию в одном порядке: AB/A′B′ = BC/B′C′.
2. Подставляем значения: 6/9 = 8/B′C′.
3. Находим неизвестную длину: B′C′ = 8 · 9/6 = 12.

Ответ: B′C′ = 12. Проверка: сторона второго треугольника больше соответствующей стороны первого в 9/6 = 1,5 раза. Поэтому BC = 8 увеличивается в 1,5 раза и даёт 12, что согласуется с найденным результатом.

Задача 3

В △ABC точка D лежит на AB, точка E — на AC, DE ∥ BC. Известно: AB = 12, AD = 8, AC = 15; требуется найти AE и обосновать подобие △ADE и △ABC. Параллельность даёт равенство углов, а общий угол при A равен сам себе. Значит, можно применить первый признак, а затем составить пропорцию сторон.

1. Угол DAE совпадает с углом BAC, так как это один и тот же угол. Из DE ∥ BC следует, что ∠ADE = ∠ABC как соответственные углы.
2. По двум парам равных углов △ADE ∼ △ABC. Соответствие вершин: A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.
3. Составляем пропорцию: AD/AB = AE/AC. Тогда 8/12 = AE/15, откуда AE = 15 · 8/12 = 10.

Ответ: AE = 10, △ADE ∼ △ABC по первому признаку. Отношение AD/AB меньше единицы, поэтому внутренний отрезок AE должен быть короче AC. Полученное значение 10 меньше 15, что служит быстрой проверкой результата.

Типичные ошибки

Ошибка: считать треугольники подобными по одной паре равных углов. Одного равного угла недостаточно: третий и второй углы могут быть разными, поэтому и форма треугольников может отличаться. Так ошибаются, когда переносят условие первого признака на неполные данные. Проверь себя: должны быть указаны две пары равных соответствующих углов.

Ошибка: неверно сопоставить вершины из-за порядка записи треугольников. Тогда в пропорции могут оказаться стороны, которые не соответствуют друг другу, и ответ получится неправильным. Обычно это происходит, если записать треугольники, не сверив углы. Перед вычислениями подпиши пары равных углов и проверь, что буквы на одинаковых местах обозначают соответствующие вершины.

Ошибка: переставлять стороны в пропорции произвольно. Можно сравнивать стороны в прямом или обратном порядке, но в обеих дробях порядок должен быть одинаковым: например, AB/A′B′ = BC/B′C′. Если одну пару записать «первый к второму», а другую наоборот, равенство отношений нарушится. Проверь, что числители относятся к одному треугольнику, а знаменатели — к другому.

Ошибка: считать подобные треугольники равными. При подобии углы равны, но стороны только пропорциональны, поэтому один треугольник может быть увеличенной копией другого. Путаница возникает из-за совпадения формы и равенства углов. Для проверки сравни длины соответствующих сторон: равенство всех длин означает равные размеры, а не просто подобие.

Связь с другими темами

Для применения признака нужны знания о сумме углов треугольника: именно она объясняет равенство третьих углов. Также пригодятся свойства равных углов и признаки параллельности прямых, по которым находят равные углы в чертеже. Без этих фактов бывает трудно обосновать, почему две пары углов действительно соответствуют друг другу.

Подобие используют, чтобы находить неизвестные стороны и доказывать пропорциональность отрезков. Особенно полезен признак в задачах с параллельными прямыми: они образуют равные углы и помогают выделить подобные треугольники. После этого геометрическую задачу можно свести к пропорции и вычислению.

Что запомнить

• Для первого признака достаточно равенства двух пар соответствующих углов.
• Третий угол при этом тоже равен соответствующему.
• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Записывай вершины подобных треугольников в порядке соответствия.
• Равные углы не означают равенства длин сторон.