§ 12. Подобные треугольники

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Они могут быть разного размера, но имеют одинаковую форму. Это понятие позволяет переносить свойства одного треугольника на другой.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Например, если стороны второго треугольника в 2 раза больше, коэффициент подобия второго к первому равен 2. Порядок записи важен: при обратном порядке получится число ½.

Соответственные элементы — углы и стороны, занимающие одинаковое положение в записи подобных треугольников. Если вершине A соответствует A₁, то стороне AB соответствует A₁B₁, а углу B — углу B₁. Такое сопоставление нужно, чтобы правильно составлять пропорции.

Признак подобия треугольников — условие, по которому можно установить подобие, не проверяя отдельно все равенства углов и пропорции сторон. Достаточно выполнить один из трёх признаков. Это сокращает доказательство и помогает быстро выбрать способ решения задачи.

Как это устроено

Равенство соответствующих углов показывает, что треугольники имеют одинаковую форму. Пропорциональность сторон означает, что переход от одного треугольника к другому выполняется одним масштабированием: все длины умножаются на одно число. Поэтому коэффициент подобия описывает именно размер, а не форму фигуры.

Соответствие вершин читают из записи треугольников слева направо. Если записано ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁, то A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁. Значит, AB относится к A₁B₁, BC — к B₁C₁, а AC — к A₁C₁; переставлять стороны только по их длине нельзя.

Первый признак называют признаком по двум углам. Если ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то третьи углы также равны: каждый из них дополняет сумму двух известных углов до 180°. Получаются три пары равных углов, а стороны треугольников оказываются пропорциональными, поэтому треугольники подобны.

Второй признак использует две стороны и угол между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники имеют одинаковую форму. Именно угол между сторонами связывает их взаимное положение; другой угол для этого признака не подходит.

Третий признак работает по трём сторонам. Если каждая сторона одного треугольника относится к соответствующей стороне другого с одним и тем же коэффициентом, то размеры изменены одинаково во всех направлениях. Такое условие достаточно для подобия, даже если равенства углов заранее не даны.

Признаки подобия треугольников

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом выбора признака: сначала найдите, какие данные даны в условии. Затем сопоставьте вершины и стороны и проверьте именно требуемые элементы. Если хотя бы одно условие признака не выполнено, этот признак применять нельзя.

Разбор задач

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны, углы B и B₁ равны. Требуется установить, подобны ли треугольники. Данных о сторонах искать не нужно, потому что уже известны две пары соответствующих углов.

1. Сопоставим углы: ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.
2. Найдём третьи углы из суммы углов треугольника: ∠C = 180° − ∠A − ∠B, а ∠C₁ = 180° − ∠A₁ − ∠B₁. Так как соответствующие первые два угла равны, ∠C = ∠C₁.
3. Получены три пары равных углов, поэтому по первому признаку ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁.

Ответ: треугольники подобны по двум углам.

Две стороны, прилежащие к равным углам, имеют длины 6 см и 8 см в одном треугольнике, 9 см и 12 см в другом. Нужно проверить второй признак подобия. Угол между указанными сторонами в обоих треугольниках равен.

1. Сопоставим стороны так: 6 см ↔ 9 см и 8 см ↔ 12 см.
2. Сравним отношения: 6 : 9 = 2 : 3 и 8 : 12 = 2 : 3. Отношения одинаковы, значит, соответствующие стороны пропорциональны.
3. Углы между этими сторонами равны по условию. Выполнены оба условия второго признака.

Ответ: треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Стороны первого треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см, второго — 10 см, 14 см и 18 см. Периметр первого треугольника равен 21 см. Требуется найти коэффициент подобия второго к первому и периметр второго.

1. Сопоставим стороны по величине: 5 ↔ 10, 7 ↔ 14, 9 ↔ 18.
2. Проверим отношения: 10/5 = 14/7 = 18/9 = 2. Все три пары пропорциональны, поэтому треугольники подобны по третьему признаку, а коэффициент второго к первому равен k = 2.
3. Периметры подобных треугольников относятся как соответствующие стороны: P₂/P₁ = k. Значит, P₂ = 21 · 2 = 42 см.

Ответ: коэффициент подобия равен 2, периметр второго треугольника — 42 см.

Типичные ошибки

Стороны сопоставляют только по длине или по порядку, не учитывая вершины. Так возникает неверная пропорция, особенно если стороны расположены в условии несимметрично. Проверьте: концы соответствующих сторон должны быть соответствующими вершинами.

Иногда треугольники считают подобными по одной паре равных углов или одной паре пропорциональных сторон. Одного такого равенства недостаточно, потому что форма ещё не определена полностью. Найдите полный набор условий хотя бы одного признака.

Второй признак применяют, сравнив угол, который не заключён между данными сторонами. Так делать нельзя: именно включённый угол задаёт взаимное положение этих сторон. Отметьте обе стороны и убедитесь, что сравниваемый угол имеет их концами свои стороны.

При вычислении коэффициента меняют порядок треугольников и получают обратное число. Ошибку допускают, когда не записывают, какой треугольник стоит в числителе. Сначала составьте одну явную дробь, например k = сторона второго / сторона первого, и используйте этот порядок везде.

Связь с другими темами

Для подобия нужны сумма углов треугольника, свойства пропорции и признаки равенства треугольников. Эти знания помогают находить третий угол и проверять отношения сторон. Без правильного сопоставления элементов доказательство легко нарушить.

Подобие позволяет находить неизвестные стороны и расстояния, которые трудно измерить напрямую. Достаточно измерить доступные отрезки и установить коэффициент подобия. Такой подход применяется в геометрических измерениях и задачах на масштаб.

Тема подготавливает к теореме Фалеса, изучению пропорциональных отрезков и задачам с окружностями. В них подобные треугольники часто появляются после проведения параллельных, пересекающихся или касательных линий. Поэтому признаки подобия становятся инструментом для дальнейших доказательств.

Что запомнить

• У подобных треугольников соответствующие углы равны.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Равенства двух пар соответствующих углов достаточно для подобия.
• При признаке по двум сторонам нужен равный угол между ними.
• При признаке по трём сторонам должны быть пропорциональны все три пары соответствующих сторон.
• Периметры подобных треугольников относятся так же, как соответствующие стороны.