"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Теорема Фалеса описывает, как параллельные прямые делят стороны угла: равным отрезкам на одной стороне соответствуют равные на другой, а произвольным — пропорциональные. Это правило помогает находить неизвестные длины в углах и треугольниках. С ним связаны подобие треугольников и средняя линия треугольника. Главное — правильно определить соответствующие отрезки и проверить параллельность прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. Например, если соседние промежутки на одном луче равны 3 см, то соответствующие промежутки на втором луче тоже равны 3 см. Теорема нужна, чтобы переносить равенство отрезков с одной стороны угла на другую.
Теорема о пропорциональных отрезках: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны, например a/b = c/d. Если на одном луче отрезки равны 4 см и 6 см, а первый отрезок на другом равен 8 см, то второй можно найти из пропорции 4/6 = 8/x.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне треугольника и равна половине этой стороны. Такая связь получается из теоремы о пропорциональных отрезках и помогает быстро находить длины.
В задачах стороны угла удобно называть лучами с общей вершиной, а параллельные прямые — линиями, которые пересекают оба луча. Соответствующими считаются отрезки, расположенные между одинаковыми соседними параллельными прямыми. Поэтому запись пропорции нужно вести в одном порядке: первый отрезок одной стороны с первым отрезком другой, второй — со вторым.
Представим угол с вершиной O и несколько параллельных прямых, пересекающих оба его луча. Они образуют на каждом луче цепочку отрезков, причём каждая следующая параллельная прямая пересекает лучы под одним и тем же направлением. Если расстояния между соседними прямыми на одном луче одинаковы, то при таком одинаковом «шаге» они будут одинаковыми и на другом луче. Это и есть содержание теоремы Фалеса.
Если промежутки на одном луче различны, одинаковыми на втором они уже не обязаны быть. Однако все отрезки растягиваются одним и тем же коэффициентом, потому что параллельные прямые сохраняют направление и углы между лучами. Поэтому отношения соответствующих отрезков равны: AB/BC = A′B′/B′C′. Так появляется теорема о пропорциональных отрезках.
Теорема Фалеса следует из общей теоремы о пропорциональных отрезках. Если на одном луче два соответствующих отрезка равны, например AB = BC, то их отношение равно 1: AB/BC = 1. Значит, и отношение соответствующих отрезков на другом луче равно 1, а равенство отношения 1 означает равенство самих отрезков.
Работает и обратное рассуждение: если соответствующие отрезки на двух лучах имеют одинаковые отношения, можно установить их равенство в частном случае, когда это отношение равно 1. Например, из AB/BC = A′B′/B′C′ и AB = BC следует A′B′/B′C′ = 1. Значит, A′B′ = B′C′, если все отрезки положительны и параллельность линий уже выполнена.
Рассмотрим треугольник ABC и проведём через точку M на AB прямую MN, параллельную BC, до пересечения с AC в точке N. Углы при A у треугольников AMN и ABC общие, а остальные соответствующие углы равны как углы при параллельных прямых. Следовательно, треугольники подобны, поэтому AM/AB = AN/AC = MN/BC и, кроме того, AM/MB = AN/NC.
| Ситуация | Условия | Вывод |
|---|---|---|
| Параллельные прямые пересекают стороны угла, на одной стороне отсекают равные отрезки | Прямые параллельны, соседние отрезки на одном луче равны | Соответствующие отрезки на другом луче равны |
| Параллельные прямые пересекают стороны угла, на одной стороне отсекают произвольные отрезки | Прямые параллельны, отрезки сопоставлены в одинаковом порядке | Соответствующие отрезки пропорциональны |
| Прямая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны | MN || BC, M лежит на AB, N лежит на AC | Треугольники AMN и ABC подобны, их стороны пропорциональны |
| Две стороны треугольника разделены на равные части, через точки деления проведены параллели третьей стороне | Точки деления расположены через одинаковые промежутки, все проведённые линии параллельны третьей стороне | Соответствующие части обеих сторон равны |
Сначала определите, что именно пересекают параллельные прямые: стороны угла или две стороны треугольника. Затем найдите соответствующие отрезки и выберите равенство либо пропорцию. Если в условии есть треугольник и параллельная его стороне прямая, удобно дополнительно использовать подобие.
Условие: параллельные прямые отсекают на одной стороне угла два соседних отрезка по 3 см. Найти соответствующие отрезки на другой стороне. Здесь даны равные промежутки, поэтому нужна теорема Фалеса, а не вычисление по сложной формуле.
Ответ: каждый соответствующий отрезок равен 3 см.
Условие: на одной стороне угла соседние отрезки равны 4 см и 6 см, а соответствующий первому отрезок на другой стороне равен 8 см. Требуется найти второй отрезок. Отрезки не равны, поэтому сохраняется не длина, а отношение.
Ответ: второй отрезок равен 12 см. Проверка показывает, что 8/12 = 2/3, как и 4/6.
Условие: в треугольнике ABC точки M и N лежат соответственно на AB и AC, причём MN || BC, AM = 5 см, MB = 3 см, AN = 10 см. Нужно найти NC. Параллельность позволяет применить пропорциональность частей двух сторон.
Ответ: NC = 6 см. Можно проверить результат: 5/3 = 10/6, обе дроби равны.
Первая ошибка — применение теоремы без проверки параллельности прямых. Ученик видит несколько пересечений и сразу составляет пропорцию, хотя нужного условия может не быть. Проверьте обозначение параллельности, например MN || BC, или наличие одинаковых углов.
Вторая ошибка — сопоставление отрезков в разном порядке. Если первый отрезок на одном луче сравнили со вторым на другом, пропорция нарушается. Считайте от вершины угла и соединяйте отрезки, заключённые между одними и теми же параллельными прямыми.
Третья ошибка — смешение равенства отрезков и равенства отношений. Равные отрезки на одной стороне нужны для прямого применения теоремы Фалеса, а при разных длинах следует записывать пропорцию. Проверьте, что именно дано в условии: равенство длин или их отношение.
Четвёртая ошибка — неверная пропорция в треугольнике. Иногда сравнивают AM с NC, хотя соответствуют AM и AN, а MB и NC. Сначала укажите подобные треугольники или пары частей, затем запишите пропорцию и только после этого подставляйте числа.
До изучения темы нужно уметь распознавать параллельные прямые и применять свойства углов при пересечении секущей. Это помогает обосновать равенство соответствующих углов и понять, почему возникают пропорции. Без проверки параллельности теоремы использовать нельзя.
Также понадобятся отношения отрезков, пропорции и правило нахождения неизвестного члена пропорции. Позже эти теоремы станут основой для подобия треугольников и изучения средней линии треугольника. Они часто применяются в задачах на нахождение длин.
Какие условия должны быть выполнены, чтобы применить теорему Фалеса?
Должны быть даны две стороны одного угла и несколько параллельных прямых, пересекающих обе стороны. Кроме того, на одной стороне должны быть равные соседние отрезки, если применяется именно теорема Фалеса.
Чем теорема Фалеса отличается от теоремы о пропорциональных отрезках?
Теорема Фалеса говорит о равных отрезках: равным отрезкам на одной стороне соответствуют равные отрезки на другой. Теорема о пропорциональных отрезках шире: она устанавливает пропорциональность любых соответствующих отрезков.
Как понять, какие отрезки нужно поставить в соответствие в пропорции?
Сопоставляйте отрезки, которые лежат между одними и теми же параллельными прямыми, считая от вершины угла в одинаковом направлении. Если первый отрезок одной стороны соответствует второму, то и в других отношениях порядок должен сохраняться.
Можно ли применить теорему, если пересекающие прямые не параллельны?
Нет, нельзя. Параллельность является главным условием теоремы: именно она сохраняет одинаковое направление пересечения сторон угла и обеспечивает равенство или пропорциональность отрезков.
Как теорема о пропорциональных отрезках связана с подобием треугольников?
Если в треугольнике провести прямую, параллельную одной из его сторон, образуется меньший треугольник с равными соответствующими углами. Поэтому треугольники подобны, а их соответствующие стороны пропорциональны.
§ 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках
