§ 10. Описанная и вписанная окружности четырёхугольника

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности; окружность называют описанной около него. Иначе говоря, каждая вершина находится на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это определение помогает понять, какое условие нужно проверять, когда речь идёт об окружности через вершины.

Описанная окружность четырёхугольника — окружность, проходящая через все его вершины; её центр равноудалён от вершин. Если обозначить центр буквой O, то расстояния от O до вершин A, B, C и D одинаковы и являются радиусами. Такое описание удобно при построении окружности и поиске её центра.

Описанный четырёхугольник — четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности; окружность называют вписанной в него. Стороны при этом являются касательными, то есть имеют с окружностью по одной общей точке. Это определение нужно отличать от случая, когда окружность проходит через вершины: здесь она соприкасается именно со сторонами.

Вписанная окружность четырёхугольника — окружность, касающаяся всех его сторон; её центр равноудалён от прямых, содержащих стороны. Расстояния от центра до сторон измеряют перпендикулярами и равны радиусу. Определение помогает искать центр окружности и проверять, подходит ли выбранная точка.

Как это устроено

Чтобы построить окружность через вершины, нужно найти точку, равноудалённую от них. Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к нему, поэтому центр окружности должен находиться на таких перпендикулярах к сторонам. Если найденная точка одинаково удалена от вершин, расстояние до них становится радиусом окружности.

Для выпуклого четырёхугольника центр описанной окружности существует, если серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке. Причина в том, что точка пересечения равноудалена от концов каждой стороны, а значит — от всех четырёх вершин. Тогда можно провести окружность с центром в этой точке через одну вершину: остальные вершины окажутся на ней тоже.

У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°. Каждый угол такого четырёхугольника является вписанным и равен половине дуги, на которую опирается. Дуги, соответствующие двум противоположным углам, вместе составляют полную окружность, поэтому их градусные меры в сумме равны 360°. Половина от 360° — это 180°.

Верно и обратное: если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность. Например, проведём окружность через три вершины; четвёртая вершина окажется на ней, потому что угол, опирающийся на нужную дугу, должен дополнять противоположный угол до 180°. Так проверка суммы углов служит признаком вписанного четырёхугольника.

Центр вписанной окружности должен быть равноудалён от сторон, то есть от прямых, на которых они лежат. Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, находятся на биссектрисе — луче, делящем угол пополам. Поэтому общий центр ищут на биссектрисах углов; затем проверяют, что окружность с этим центром действительно касается всех сторон.

Выпуклому четырёхугольнику можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Равенство возникает потому, что из одной вершины к окружности проведены две касательные, а их отрезки равны. Если сложить равные отрезки касательных у противоположных вершин, длины касательных частей сторон дадут одинаковые суммы для каждой пары противоположных сторон. Для выпуклого четырёхугольника это условие является также признаком существования вписанной окружности.

При решении задач сначала выясните, что именно связано с окружностью. Если она проходит через вершины, рассматривайте углы и серединные перпендикуляры; если касается сторон — длины сторон, касательные и биссектрисы. Это различие определяет, какой признак можно применить. Проверка формулировки задачи убережёт от использования свойства не того типа окружности.

Описанная и вписанная окружности четырёхугольника

Сначала определите, о каком случае говорится: окружность проходит через вершины или касается сторон. Затем выберите соответствующую строку с признаком и равенством. Таблица помогает не перепутать, какие элементы четырёхугольника нужно сравнивать.

Разбор задач

Задача 1. В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 72° и 108°. Можно ли описать около него окружность? Нужно проверить признак вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов должна составлять 180°. Углы A и C — противоположные.

1. Сложим данные углы: 72° + 108° = 180°.
2. По признаку выпуклого четырёхугольника, если сумма противоположных углов равна 180°, около него можно описать окружность.
3. Условие выполнено, поэтому четырёхугольник является вписанным.

Ответ: да, около четырёхугольника можно описать окружность.

Задача 2. Около четырёхугольника ABCD описана окружность, ∠A = 67°, ∠B = 104°. Найдём углы C и D. Так как четырёхугольник вписан в окружность, каждый угол дополняет противоположный до 180°. Значит, используем пару A и C, а затем пару B и D.

1. ∠C = 180° − ∠A = 180° − 67° = 113°.
2. ∠D = 180° − ∠B = 180° − 104° = 76°.
3. Проверим результат: сумма всех углов равна 67° + 104° + 113° + 76° = 360°, как и должна для четырёхугольника.

Ответ: ∠C = 113°, ∠D = 76°.

Задача 3. Стороны выпуклого четырёхугольника равны 5 см, 7 см, 9 см и 7 см в порядке обхода. Выясним, можно ли вписать окружность. Противоположные стороны — первая и третья, а также вторая и четвёртая. По признаку их суммы должны быть равны.

1. Сложим длины первой и третьей сторон: 5 + 9 = 14 см.
2. Сложим длины второй и четвёртой сторон: 7 + 7 = 14 см.
3. Суммы совпали, поэтому условие существования вписанной окружности выполнено.

Ответ: да, в этот выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность.

Типичные ошибки

Иногда делают вывод о вписанности, увидев лишь равенство одной пары противоположных углов. Но для признака нужна именно сумма этих углов, равная 180°, а не их равенство между собой. Ошибка возникает из-за смешения слов «равны» и «в сумме дают». Для проверки сложите углы и сравните результат со 180°.

Вписанный и описанный четырёхугольники часто путают из-за похожих названий. Вписанный связан с окружностью, на которой лежат вершины, а описанный — с окружностью, к которой прикасаются стороны. Чтобы проверить себя, спросите: окружность проходит через углы фигуры или касается её сторон? От ответа зависит и нужный признак.

Для проверки возможности вписать окружность некоторые сравнивают соседние стороны. Однако условие относится к суммам противоположных сторон: AB + CD должно равняться BC + AD. Путаница появляется, если стороны просто перечисляют подряд и не отмечают, какие из них лежат напротив друг друга. Нарисуйте четырёхугольник или подпишите стороны, а затем складывайте пары через одну.

Центр вписанной окружности иногда считают равноудалённым от вершин. На самом деле он равноудалён от прямых, содержащих стороны, а расстояние измеряется перпендикуляром. Ошибка возникает из-за переноса свойства центра описанной окружности на другой случай. Проверьте, к чему проведены равные расстояния: к вершинам или к сторонам.

Связь с другими темами

Для темы нужны свойства касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а отрезки касательных из одной точки равны. Пригодятся также биссектрисы углов и серединные перпендикуляры, поскольку по ним ищут центры окружностей. Сумма углов выпуклого четырёхугольника помогает проверять вычисления. Эти знания используют при доказательствах и в задачах на углы, стороны и касательные.

Что запомнить

• Вписанный четырёхугольник имеет все вершины на одной окружности.
• Около вписанного четырёхугольника описана окружность.
• В выпуклом вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны 180°.
• Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность.
• Описанный четырёхугольник имеет все стороны, касающиеся одной окружности.
• В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.