"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Четырёхугольник называют вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности, и описанным, если все его стороны касаются окружности. Для таких фигур существуют удобные признаки: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, а у описанного суммы противоположных сторон равны. Эти свойства помогают распознавать фигуры, находить неизвестные углы и стороны, а также определять положение центров окружностей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около четырёхугольника. Такое определение нужно, чтобы по расположению вершин распознавать фигуру и применять свойства вписанных углов.
Описанный четырёхугольник — четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Эту окружность называют вписанной в четырёхугольник. Здесь главным является не положение вершин, а касание окружности каждой стороны.
Описанная около четырёхугольника окружность проходит через все его вершины. Её центр находится на одинаковом расстоянии от вершин, потому что это расстояние является радиусом окружности. Поэтому по центру и одной вершине можно определить радиус, если окружность уже построена.
Вписанная в четырёхугольник окружность касается всех его сторон. Её центр равноудалён от прямых, содержащих стороны, а расстояние до каждой из них равно радиусу. Это свойство помогает искать центр через биссектрисы углов и проверять возможность построения окружности.
Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник. Угол A опирается на дугу BCD, а угол C — на дугу BAD; эти дуги вместе составляют всю окружность. Каждый вписанный угол равен половине своей дуги, поэтому ∠A + ∠C = ½(дуга BCD + дуга BAD) = 180°.
Обратное утверждение тоже работает для выпуклого четырёхугольника. Если ∠A + ∠C = 180°, можно рассмотреть окружность, проходящую через три вершины, например A, B и C. Угол, опирающийся на хорду AC с другой стороны, будет равен 180° − ∠A, то есть ∠C, поэтому вершина D попадёт на ту же окружность.
Центр окружности, проходящей через вершины, равноудалён от концов каждой хорды. Все точки, равноудалённые от A и B, лежат на серединном перпендикуляре к AB, поэтому центр находится на нём; то же верно для другой стороны, например BC. Если серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке и эта точка равноудалена от остальных вершин, окружность существует.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной стороне. Поэтому центр вписанной окружности имеет одинаковые расстояния до двух сторон каждого угла. Геометрическое место таких точек — биссектриса угла, значит, центр лежит на биссектрисах всех углов четырёхугольника.
Рассмотрим касательные, проведённые из одной вершины к окружности. Их отрезки до точек касания равны, поэтому для вершин A, B, C и D можно обозначить соответствующие части сторон одинаковыми буквами. При сложении сторон AB и CD получается та же сумма, что при сложении BC и AD, следовательно, AB + CD = BC + AD. Для выпуклого четырёхугольника обратное равенство сумм является признаком того, что в него можно вписать окружность.
| Свойство | Вписанный четырёхугольник | Описанный четырёхугольник |
|---|---|---|
| Что общее | Вершины лежат на одной окружности. | Стороны касаются одной окружности. |
| Основной признак | Сумма противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = 180°. | Суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. |
| Где находится центр окружности | На серединных перпендикулярах к сторонам-хордам. | На биссектрисах углов, равноудалённый от сторон. |
| Что нужно проверить при решении задачи | Положение вершин или сумму одной пары противоположных углов. | Касание сторон или равенство сумм противоположных сторон. |
Сначала определите, о какой окружности идёт речь: через вершины или касающейся сторон. Затем выберите соответствующий признак из таблицы и запишите равенство с буквами или числами из условия.
Не смешивайте два столбца: углы относятся к вписанному четырёхугольнику, а суммы длин сторон — к описанному. Обратные признаки применяйте с учётом того, что четырёхугольник должен быть выпуклым.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 74° и 106°. Нужно доказать, что около него можно описать окружность. Для этого достаточно проверить признак вписанного четырёхугольника.
Ответ: около четырёхугольника можно описать окружность.
Три стороны выпуклого описанного четырёхугольника равны 6 см, 8 см и 5 см. Сторона 6 см противоположна стороне 5 см; требуется найти четвёртую сторону. Используем равенство сумм противоположных сторон.
Ответ: четвёртая сторона равна 3 см. Проверка: суммы противоположных сторон равны 6 + 5 = 8 + 3 = 11 см.
В выпуклом ABCD ∠A = 65°, ∠C = 115°, а AB = 6 см, BC = 8 см, CD = 5 см. Нужно отдельно проверить возможность описать окружность и вписать окружность, а также найти DA. Разные окружности требуют разных признаков.
Ответ: описать окружность можно; вписать окружность тоже можно; DA = 3 см.
Ошибка — считать, что у вписанного четырёхугольника противоположные углы равны. На самом деле равна 180° их сумма, а сами углы обычно различны. Проверьте запись: должно быть ∠A + ∠C = 180°, а не ∠A = ∠C.
Ошибка — путать вписанный и описанный четырёхугольники. Слово «вписанный» относится к вершинам, лежащим на окружности, а «описанный» — к сторонам, касающимся окружности. Полезно мысленно спросить: окружность проходит через вершины или касается сторон?
Ошибка — применять равенство сумм противоположных сторон к четырёхугольнику с описанной окружностью. Это свойство относится к описанному четырёхугольнику, то есть к фигуре, в которую вписана окружность. Перед вычислением снова определите, что именно касается окружности.
Ошибка — считать равенство сумм сторон достаточным для любой фигуры без дополнительных условий. Признак сформулирован для выпуклого четырёхугольника, где стороны и углы расположены обычным образом. Проверьте выпуклость и только затем применяйте обратное утверждение.
Для понимания вписанного четырёхугольника нужны свойства вписанных углов, дуг, хорд и секущих. Именно связь угла с дугой объясняет, почему противоположные углы в сумме дают 180°. Эти знания позволяют не заучивать формулу отдельно, а выводить её из свойств окружности.
Центр описанной окружности связан с серединным перпендикуляром, а центр вписанной — с биссектрисой угла. Равенство касательных из одной точки объясняет формулу для противоположных сторон описанного четырёхугольника. Позже эти идеи пригодятся в задачах на построение и вычисление элементов фигур.
Как отличить вписанный четырёхугольник от описанного?
У вписанного четырёхугольника на одной окружности лежат все вершины. У описанного четырёхугольника одна окружность касается всех его сторон.
Почему сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°?
Каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Дуги, соответствующие противоположным углам, вместе образуют полную окружность, поэтому половина их суммы равна 180°.
Достаточно ли проверить только одну пару противоположных углов?
Да, для выпуклого четырёхугольника достаточно установить, что сумма одной пары противоположных углов равна 180°. Тогда выполняется признак вписанного четырёхугольника, а вторая пара также имеет сумму 180°.
Как найти центр окружности, описанной около четырёхугольника?
Проведите серединные перпендикуляры к двум сторонам, например к AB и BC. Их точка пересечения равноудалена от вершин A, B и C; если она также равноудалена от D, то это центр описанной окружности.
Можно ли вписать окружность в любой выпуклый четырёхугольник?
Нет, это возможно не для любого выпуклого четырёхугольника. Необходимо, чтобы суммы длин противоположных сторон были равны; для выпуклого четырёхугольника это является признаком существования вписанной окружности.
§ 10. Описанная и вписанная окружности четырехугольника
