§ 9. Центральные и вписанные углы

Определения и обозначения

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через точки окружности. Например, у угла AOB вершина O находится в центре, а точки A и B лежат на окружности. Это определение нужно, чтобы отличать такой угол от угла с вершиной на окружности и связывать его с дугой AB.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках. В угле ACB вершина C лежит на окружности, а стороны проходят через A и B. По этому признаку можно понять, какое свойство угла применять в задаче.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Дугу с концами A и B обозначают дугой AB; если между этими точками есть две дуги, нужную выбирают по положению угла. Дуга нужна, чтобы описывать часть окружности, на которую направлены стороны угла.

Угол, опирающийся на дугу, — центральный или вписанный угол, стороны которого проходят через концы этой дуги. Например, углы AOB и ACB могут опираться на дугу AB. Это понятие позволяет сравнивать углы и находить их градусные меры по мере дуги.

Как это устроено

Градусная мера центрального угла равна мере дуги, на которую он опирается. Чтобы понять причину, достаточно представить, что центр окружности — вершина угла, а его стороны являются радиусами к концам дуги. При повороте одного радиуса до другого точка окружности проходит именно эту дугу. Поэтому угол поворота в градусах совпадает с градусной мерой дуги.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Проведём из центра радиусы к концам дуги и к вершине вписанного угла: получатся равнобедренные треугольники, поскольку радиусы одной окружности равны. Их углы при основаниях связаны с углом при вершине вписанного угла. Из суммы углов треугольника следует, что этот угол составляет половину центрального угла, опирающегося на ту же дугу. А центральный угол равен мере дуги, значит, вписанный угол равен её половине.

Центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, относятся как два к одному. Центральный угол равен мере дуги, а вписанный — половине этой меры. Поэтому, если один угол известен, другой можно найти умножением или делением на два: центральный вдвое больше вписанного. Важно сначала убедиться, что оба угла опираются именно на одну дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, даже если их вершины находятся в разных точках окружности. Причина в том, что каждый из них равен половине меры одной и той же дуги. То же можно сказать об углах, опирающихся на одну хорду и расположенных так, что они охватывают одну дугу. Тогда у них одинаковая половина, а значит, одинаковая градусная мера.

Если вписанный угол опирается на диаметр, его дуга является полуокружностью. Полная окружность содержит 360°, поэтому полуокружность имеет меру 180°. Вписанный угол равен половине меры этой дуги: 180° : 2 = 90°. Значит, он прямой независимо от того, где на окружности расположена его вершина.

Центральные и вписанные углы

Сначала найди в таблице положение вершины — так определишь вид угла. Затем проверь, какие стороны его образуют и на какую дугу он опирается. Для вычислений выбери правило из строки о связи с дугой.

Разбор задач

Задача 1. Центральный угол AOB равен 76°. Найдите градусную меру дуги AB. Угол имеет вершину в центре, поэтому он центральный. Для такого угла мера дуги совпадает с мерой угла.

1. Определяем, что угол AOB центральный: его вершина O — центр окружности.
2. Применяем свойство: мера дуги AB равна мере центрального угла AOB.
3. Подставляем известное значение: мера дуги AB = 76°.

Ответ: 76°. Здесь не нужно делить число на два: деление на два применяется для вписанного угла, а не для центрального.

Задача 2. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, равную 124°. Найдите угол ACB. Вершина C находится на окружности, значит, угол вписанный. Он равен половине меры дуги, на которую опирается.

1. Проверяем, что в условии дана именно дуга AB, на которую опирается угол ACB.
2. Используем свойство вписанного угла: ∠ACB = 124° : 2.
3. Выполняем деление: ∠ACB = 62°.

Ответ: 62°. Быстрая проверка: вписанный угол должен быть вдвое меньше соответствующей дуги, и 62° × 2 = 124°.

Задача 3. AB — диаметр окружности, C — точка окружности. Найдите угол ACB и объясните ответ. Стороны угла проходят через концы диаметра, поэтому он опирается на дугу AB. Эта дуга является полуокружностью.

1. Находим меру дуги AB: она составляет половину окружности, то есть 360° : 2 = 180°.
2. Угол ACB вписанный, поэтому его мера равна половине меры дуги: 180° : 2.
3. Вычисляем: ∠ACB = 90°, значит, он прямой.

Ответ: 90°. Такой вывод верен для любой точки C на окружности, если AB — диаметр.

Типичные ошибки

• Путают центральный и вписанный углы, не проверяя положение вершины. Это происходит, когда смотрят только на стороны угла и не замечают, где они пересекаются. Проверь: вершина в центре — угол центральный, на окружности — вписанный.
• Приравнивают вписанный угол к дуге, забывая, что он равен половине её градусной меры. Так бывает, если механически переносят правило для центрального угла. Для проверки удвой найденный угол: должна получиться мера дуги.
• Берут не ту дугу: для угла нужно выбирать дугу между точками, через которые проходят его стороны. Ошибка возникает, если выбрать дугу, содержащую вершину вписанного угла. Проверь её положение: нужная дуга ограничена концами сторон и не содержит вершину.
• Считают любой угол с вершиной на окружности прямым, хотя прямым бывает только угол, опирающийся на диаметр. Вершина на окружности говорит лишь о том, что угол вписанный. Проверь, соединяют ли концы соответствующей дуги диаметрально противоположные точки; только тогда дуга равна 180° и угол равен 90°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения окружности, радиуса, хорды, дуги, угла и его градусной меры. Радиусы помогают рассуждать о центральном угле, а хорды образуют стороны вписанного угла. Свойства углов пригодятся в задачах на окружности, хорды, диаметры и вписанные четырёхугольники. Позже они помогут разбирать свойства касательных и другие задачи на окружность.

Что запомнить

• Вершина центрального угла находится в центре окружности.
• Вершина вписанного угла находится на окружности.
• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.