§ 2. Центральные и вписанные углы

Определения и обозначения

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках, а дуга между этими точками называется дугой, на которую угол опирается. Если обозначить центр буквой O, а точки на окружности — A и B, угол можно записать как ∠AOB. Это понятие помогает напрямую сравнивать величину угла и соответствующей дуги.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность ещё в двух точках. Дугой, на которую он опирается, называют дугу между точками пересечения сторон с окружностью, не содержащую вершину угла. Например, если вершина — C, а стороны пересекают окружность в A и B, угол записывают ∠ACB. Это определение нужно, чтобы верно выбрать дугу при вычислении угла.

Угол, опирающийся на полуокружность, — это вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра. Диаметр делит окружность на две дуги по 180°, то есть на две полуокружности. Поэтому такой угол можно определить, даже если его величину ещё не нашли: он всегда прямой. Это свойство часто помогает вычислять остальные углы треугольника.

Как это устроено

Центральный угол и дуга, на которую он опирается, измеряют один и тот же поворот вокруг центра окружности. Поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги. Например, если угол составляет 60°, то и дуга, ограниченная его сторонами, имеет меру 60°. Это правило позволяет перейти от измерения угла к измерению дуги и обратно.

Вписанный угол с вершиной на окружности связан с той же дугой иначе: он составляет половину её градусной меры. Чтобы увидеть причину, сопоставим его с центральным углом, опирающимся на эту дугу. Радиусы, проведённые к концам дуги, образуют центральный угол, а лучи вписанного угла направлены к тем же концам. Свойство равнобедренных треугольников показывает, что вписанный угол равен половине центрального.

Для доказательства проводят радиусы из центра окружности к концам дуги и к вершине вписанного угла. Радиусы одной окружности равны, поэтому треугольники, образованные радиусами и хордами, равнобедренные; хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если вершина вписанного угла находится не на прямой через центр и вершину угла, эти равные углы позволяют сложить части угла и сопоставить его с центральным; в итоге центральный угол вдвое больше вписанного. Если точки расположены иначе, радиусы всё равно разбивают фигуру на такие треугольники, и получается тот же результат.

Диаметр стягивает полуокружность, мера которой равна 180°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине её меры: 180° : 2 = 90°. Поэтому он прямой, хотя сама дуга имеет меру 180°. Это различие важно: угол измеряют при вершине, а дугу — по окружности.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, каждый из них равен половине её градусной меры. Значит, обе величины равны между собой. Благодаря этому можно находить угол, даже если вершина другого угла расположена в более удобном для решения месте. При этом нужно проверить, что оба угла опираются именно на одну дугу, а не просто имеют общую хорду.

Центральный и вписанный углы

Сначала определите положение вершины: оно подскажет, какой столбец таблицы использовать. Затем установите, на какую дугу опирается угол, и примените соответствующее соотношение. В строке про полуокружность не путайте меру дуги и меру вписанного угла.

Разбор задач

Задача 1. Центральный угол AOB равен 74°. Найдите градусную меру дуги AB, на которую он опирается. Здесь вершина угла находится в центре окружности, поэтому применяем свойство центрального угла. Требуется найти меру именно соответствующей дуги, а не всей окружности.

1. По условию ∠AOB = 74°. Это центральный угол, поскольку его вершина O — центр окружности.
2. Мера дуги AB равна мере центрального угла, который на неё опирается. Поэтому мера дуги AB составляет 74°.
3. Проверка проста: угол меньше 180°, значит, соответствующая ему малая дуга тоже меньше полуокружности. Найденная мера этому условию соответствует.

Ответ: 74°.

Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу, градусная мера которой равна 128°. Найдите угол. Вершина угла находится на окружности, поэтому нельзя приравнивать его меру к мере дуги. Сначала используем теорему о вписанном угле, а затем вычислим половину известной величины.

1. Мера дуги равна 128°, а вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Записываем: 128° : 2.
2. Выполняем деление: 128° : 2 = 64°. Значит, величина вписанного угла равна 64°.
3. Проверяем результат: вписанный угол должен быть меньше дуги, потому что он составляет её половину. 64° меньше 128°, значит, ответ согласуется с теоремой.

Ответ: 64°.

Задача 3. AB — диаметр окружности, точка C лежит на окружности, ∠BAC = 31°. Найдите ∠ACB и ∠ABC. Начнём с угла, который опирается на известный диаметр: так сразу найдём один угол треугольника. Затем применим сумму углов треугольника, равную 180°.

1. Угол ∠ACB опирается на дугу AB, а AB — диаметр. Следовательно, ∠ACB = 90°.
2. В треугольнике ABC уже известны ∠BAC = 31° и ∠ACB = 90°. Сумма трёх углов равна 180°.
3. Вычитаем известные углы: ∠ABC = 180° − 31° − 90° = 59°. Проверка: 31° + 90° + 59° = 180°.

Ответ: ∠ACB = 90°, ∠ABC = 59°.

Типичные ошибки

Первая ошибка — путать центральный угол с вписанным. Это случается, когда смотрят только на стороны угла и не проверяют положение вершины. Найдите центр окружности: вершина в центре означает центральный угол, а вершина на окружности — вписанный. Так вы выберете нужное правило.

Вторая ошибка — считать вписанный угол равным дуге. Часто это происходит из-за того, что для центрального угла такое равенство действительно верно. Проверьте тип угла: если вершина на окружности, разделите меру соответствующей дуги на два. Например, дуге 100° соответствует вписанный угол 50°.

Третья ошибка — выбрать не ту дугу. Стороны вписанного угла пересекают окружность в двух точках, но дуг между ними две; одна содержит вершину, другая — нет. Угол опирается на дугу, не содержащую его вершину. Перед вычислением отметьте точки пересечения и убедитесь, что выбрали нужную часть окружности.

Четвёртая ошибка — считать, что угол, опирающийся на диаметр, равен 180°. Путают величину угла с мерой полуокружности: 180° относится к дуге, а угол составляет её половину. Разделите 180° на два и получите 90°. Проверка: такой угол должен быть прямым.

Связь с другими темами

Для работы с центральными и вписанными углами нужно знать элементы окружности: центр, радиус, диаметр и хорду. Также понадобятся градусная мера угла и дуги, а для доказательства теоремы — свойство равнобедренного треугольника, у которого углы при основании равны. Эти понятия помогают увидеть, откуда берутся соотношения, а не просто запомнить их.

Теоремы о вписанных углах пригодятся в задачах на окружность и при доказательстве свойств треугольников. Они помогают находить углы в четырёхугольниках, вершины которых лежат на одной окружности, — таких четырёхугольниках говорят, что они вписаны в окружность. Поэтому умение распознавать дугу и угол становится основой для дальнейших геометрических рассуждений.

Что запомнить

• Центральный угол имеет вершину в центре окружности.
• Вписанный угол имеет вершину на окружности.
• Мера центрального угла равна мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.