"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Чтобы описывать дуги и решать задачи, их измеряют в градусах: мера дуги равна мере центрального угла, который опирается на неё. Вся окружность составляет 360°, а полуокружность — 180°. По этим правилам можно находить большую дугу, сравнивать дуги и узнавать, равны ли соответствующие им центральные углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Эти точки называют концами дуги. Между ними можно двигаться по окружности в двух направлениях, поэтому обычно получаются две дуги. Понятие дуги нужно, чтобы описывать отдельные части окружности и измерять их.
Две точки делят окружность на малую и большую дуги. Малую дугу обычно обозначают двумя буквами — названиями её концов, например дугу AB. Чтобы указать большую дугу, пишут три буквы: средняя обозначает точку, лежащую на этой дуге, например ACB. Так читатель понимает, какой путь по окружности имеется в виду.
Градусная мера дуги — величина, равная градусной мере соответствующего центрального угла. Центральным называют угол с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через концы дуги. Это определение позволяет измерять дугу знакомыми градусами, не сравнивая её длину с линейкой. Угол должен опираться именно на ту дугу, меру которой находят.
Равные дуги — дуги одной окружности с одинаковыми градусными мерами. Их соответствующие центральные углы тоже равны, поскольку мера каждого угла равна мере своей дуги. И наоборот: равным центральным углам соответствуют равные дуги. Это помогает заменять сравнение дуг сравнением углов.
Почему две точки образуют две дуги? Если идти от одной точки к другой по окружности, можно выбрать один из двух путей: короткий или длинный. Эти пути составляют всю окружность вместе, поэтому нельзя считать, что у пары концов всегда только одна дуга. Для ясности меньшую часть называют малой, а оставшуюся — большой. Если точки диаметрально противоположны, оба пути равны и каждый является полуокружностью.
Градусную меру дуги связывают с центральным углом, потому что этот угол показывает, насколько далеко окружность поворачивается от одного конца дуги к другому вокруг центра. Его стороны задают направления к концам дуги, а вершина находится в центре. Поэтому угол как бы «открывает» именно соответствующую часть окружности. Если взять угол, не опирающийся на эти концы, он не будет измерять нужную дугу.
Полный поворот вокруг точки равен 360°, поэтому и вся окружность имеет градусную меру 360°. Диаметр делит окружность на две равные части, а соответствующий развёрнутый центральный угол составляет 180°. Значит, каждая полуокружность имеет меру 180°. Это объясняет, почему меры двух дуг с одинаковыми концами в сумме дают 360°.
Если известна малая дуга, большую находят вычитанием её меры из 360°. Причина в том, что малая и большая дуги вместе составляют всю окружность. Например, если малая дуга равна 110°, то большая равна 360° − 110° = 250°. Полученная мера больше 180°, что подходит большой дуге.
У равных дуг одной окружности одинаковы градусные меры. Соответствующие центральные углы равны, потому что их меры совпадают с мерами дуг. Обратное тоже верно: равные центральные углы дают равные дуги. Так можно переходить от свойств углов к свойствам дуг и обратно.
| Вид дуги | Как обозначают | Связь с центральным углом | Градусная мера |
|---|---|---|---|
| Малая дуга | Обычно двумя буквами концов | Равна мере меньшего центрального угла | Меньше 180° |
| Полуокружность | Двумя концами диаметра; при необходимости уточняют точкой на дуге | Соответствует развёрнутому центральному углу | 180° |
| Большая дуга | Тремя буквами, средняя указывает точку на дуге | Равна мере соответствующего большего центрального угла | Больше 180°, равна 360° минус малая дуга |
| Вся окружность | Словами «вся окружность» | Соответствует полному повороту вокруг центра | 360° |
Сначала определи, какую дугу обозначили: малую, большую или полуокружность. Затем свяжи её с центральным углом или используй сумму 360°. Для большой дуги особенно удобно проверить ответ: её мера должна быть больше 180°.
Задача 1. Центральный угол AOB равен 65°. Найдите градусную меру дуги AB. Нужно сопоставить дугу с углом, который опирается на неё: вершина угла O находится в центре, а стороны проходят через точки A и B. Значит, угол AOB является соответствующим центральным углом.
Ответ: 65°.
Задача 2. Малая дуга AB имеет градусную меру 110°. Найдите меру большей дуги AB. Эти две дуги вместе составляют всю окружность, значит, их меры в сумме дают 360°. Чтобы найти неизвестную часть, нужно вычесть известную меру из полного круга.
Ответ: 250°.
Задача 3. Точки A, B и C делят окружность на дуги AB, BC и CA. Меры дуг AB и BC равны, а дуга CA на 40° больше дуги AB. Найдите меры всех трёх дуг. Обозначим меру дуги AB через x градусов. Тогда мера BC тоже равна x, а мера CA — x + 40°.
Ответ: дуги AB и BC равны 106⅔° каждая, дуга CA равна 146⅔°.
Не путай градусную меру дуги с её длиной в сантиметрах. Градусы показывают угловую величину, а длина зависит ещё и от радиуса окружности. Ошибка возникает потому, что в обычной речи «большая дуга» может казаться просто более длинной линией. Проверь себя: если речь идёт о градусной мере, ответ записывают в градусах.
Не всегда достаточно написать «дуга AB»: две буквы обычно обозначают малую дугу, но в некоторых условиях выбор может быть неясен. Чтобы указать большую дугу, добавь третью букву, обозначающую точку на ней. Это правило помогает не перепутать два пути между концами. Перед решением проверь, какая часть окружности требуется.
Не забывай, что мера большой дуги равна 360° минус мера малой дуги. Иногда по невнимательности оставляют меру малой дуги или вычитают из 180°. Проверь вычисление сложением: меры малой и большой дуг должны дать 360°. Кроме того, мера большой дуги должна быть больше 180°.
Нельзя приравнивать меру дуги к любому углу на чертеже. Подходящий угол должен быть центральным: его вершина находится в центре окружности, а стороны проходят через концы дуги. Ошибка случается, если берут угол с вершиной на окружности или другой угол с неподходящими сторонами. Перед вычислением назови вершину и проверь, что угол опирается на нужную дугу.
Для этой темы нужны знания об окружности, радиусе, центральном угле и измерении углов в градусах. Радиусы помогают распознать центральный угол: его стороны являются радиусами. Понимание полного и развёрнутого угла объясняет меры 360° и 180°. Позже дуги понадобятся при изучении вписанного угла и связи его величины с дугой.
Дуга используется и при изучении длины окружности и длины дуги. Градусная мера показывает, какую часть полного круга занимает дуга, а длина отвечает на вопрос, сколько сантиметров составляет её линия. Эти величины связаны, но не совпадают: одна измеряется в градусах, другая — единицами длины. Поэтому важно различать угловую меру и длину.
Почему у двух точек окружности могут быть две разные дуги?
Две точки делят окружность на две части, потому что между ними можно пройти по окружности в двух направлениях. Одна часть обычно меньше другой, поэтому получаются малая и большая дуги.
Как отличить малую дугу от большой по её обозначению?
Малую дугу обычно обозначают двумя буквами — названиями её концов. Большую дугу обозначают тремя буквами: средняя буква указывает точку, лежащую на этой дуге. Если концы — диаметрально противоположные точки, каждая дуга является полуокружностью.
Почему мера дуги измеряется в градусах, а не в сантиметрах?
Градусная мера показывает, какую часть полного поворота занимает дуга, а не какова её длина. Длина дуги зависит от размера окружности, а её градусная мера при одинаковом угле остаётся той же.
Можно ли найти меру дуги без построения соответствующего центрального угла?
Да, если известна мера соответствующего центрального угла: мера дуги равна ей. Также можно найти большую дугу, вычтя меру малой из 360°, или использовать сумму мер частей окружности.
Что делать, если в условии не указано, малая это дуга или большая?
Посмотри на обозначение и на данные задачи: обычно две буквы указывают малую дугу, а три — большую. Если возможны оба варианта, используй остальные условия, например величину центрального угла или слово «большая». Без таких уточнений ответ может быть неоднозначным.
70. Градусная мера дуги окружности
