11.3. Градусная мера дуги окружности

Определения и обозначения

Дуга окружности — часть окружности, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами дуги. Понятие дуги нужно, чтобы рассматривать не всю окружность сразу, а отдельный её участок.

Градусная мера дуги — величина, равная градусной мере соответствующего центрального угла. Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а его стороны проходят через концы дуги. Благодаря этому дугу можно измерять в градусах, не находя её длину.

Малая и большая дуги — две дуги с общими концами: одна меньше полуокружности, другая больше. Малая дуга имеет меру меньше 180°, а большая — больше 180°. Такое различие помогает понять, какую именно часть окружности нужно найти.

Полуокружность — дуга, концы которой являются концами диаметра; её градусная мера равна 180°. Диаметр делит окружность на две равные дуги. Поэтому слово полуокружность указывает не на произвольную половину, а на дугу, стянутую диаметром.

Как это устроено

Возьмём дугу с концами A и B и соединим эти точки с центром O. Получится центральный угол AOB, стороны которого проходят по радиусам OA и OB. Чем больше поворот от одного радиуса к другому, тем большую часть окружности занимает соответствующая дуга, поэтому им приписывают одну и ту же градусную меру.

Полная окружность соответствует полному повороту вокруг центра. Полный поворот разделён на 360 равных частей, поэтому мера всей окружности равна 360°. Диаметр задаёт развернутый центральный угол, а развернутый угол равен 180°, поэтому каждая дуга полуокружности тоже имеет меру 180°.

Малую дугу обозначают двумя буквами, соответствующими её концам: дуга AB. Но те же две точки являются концами и большой дуги, поэтому при необходимости различить их используют три буквы. В обозначении большой дуги средней ставят точку, лежащую именно на большой части окружности, например дуга ACB.

Две дуги с общими концами вместе составляют всю окружность. Поэтому их меры в сумме равны 360°. Если известна малая дуга, большую находят вычитанием: 360° − мера малой дуги, а не вычитанием из 180°.

Две точки окружности делят её на две дуги, а два радиуса с общим центром также выделяют соответствующие части окружности. Если радиусы образуют угол меньше 180°, ему соответствует малая дуга, а оставшаяся часть окружности является большой дугой. Если границы образованы диаметром, обе дуги — полуокружности и каждая имеет меру 180°.

Виды дуг и их градусные меры

Сначала определите, какая часть окружности дана: малая дуга, полуокружность, большая дуга или вся окружность. Затем выберите соответствующее правило из последнего столбца. Границы 180° и 360° помогают проверить, не перепутана ли дуга.

Разбор задач

Задача 1

Условие: центральный угол AOB равен 65°. Найдите градусную меру дуги AB. Угол и дуга имеют общие концы A и B.

1. Угол AOB является центральным, потому что его вершина O находится в центре окружности.
2. Дуга AB, соответствующая этому углу, имеет такую же градусную меру.
3. Следовательно, мера дуги AB равна 65°.

Ответ: 65°.

Задача 2

Условие: точки A и B делят окружность на две дуги. Мера меньшей дуги AB равна 112°. Найдите меру большей дуги AB. Обе дуги вместе образуют полную окружность.

1. Мера полной окружности равна 360°.
2. Из полной меры вычтем меру меньшей дуги: 360° − 112° = 248°.
3. Полученное число больше 180°, значит, найденная дуга действительно является большой.

Ответ: 248°.

Задача 3

Условие: диаметр AC и радиус OB делят окружность на три дуги. Известно, что мера дуги AB на 30° больше меры дуги BC. Точки B и C лежат на одной полуокружности с A.

1. Обозначим меру дуги BC через x°. Тогда мера дуги AB равна x + 30°.
2. Дуги AB и BC составляют полуокружность, поэтому их сумма равна 180°: x + x + 30 = 180.
3. Решим уравнение: 2x = 150, x = 75. Значит, дуга BC равна 75°, а дуга AB равна 105°.

Ответ: дуга BC — 75°, дуга AB — 105°.

Типичные ошибки

Путать меру дуги с её длиной. Градусная мера выражается в градусах, а длина — в сантиметрах или других единицах. Проверяйте единицы ответа: знак ° должен появляться только у угловой меры.

Вычитать из 360° − 180° всегда. Так получают только 180°, но большая дуга зависит от конкретной малой. Нужно вычислять 360° − заданную меру малой дуги и проверять, что результат больше 180°.

Неверно выбирать дугу по трём буквам. Средняя буква должна обозначать точку на той части окружности, которую требуется назвать. Мысленно проследите путь от первой буквы ко второй через среднюю.

Считать дугу, стягиваемую диаметром, полной окружностью. Диаметр делит окружность на две полуокружности, а не оставляет её целой. Поэтому мера такой дуги равна 180°, тогда как 360° относится ко всей окружности.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об окружности, радиусе, диаметре, центральном угле и градусной мере угла. Мера дуги помогает находить углы и дуги в задачах об окружности, в том числе устанавливать связь вписанного угла с дугой. Позже это понятие пригодится при изучении хорд, касательных, секущих и длины окружности.

Что запомнить

• Полная окружность имеет меру 360°.
• Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.
• Дуга, стягиваемая диаметром, имеет меру 180°.
• Малая дуга имеет меру меньше 180°.
• Большая дуга имеет меру больше 180°.
• Меры двух дуг с общими концами в сумме равны 360°.