11.2. Касание прямой и окружности. Взаимное расположение прямой и окружности

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Слово «ровно» здесь принципиально: прямая не проходит внутрь круга и не пересекает окружность ещё раз. По этому определению можно отличить касательную от прямой, которая пересекает окружность.

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Она лежит и на прямой, и на окружности, поэтому расстояние от неё до центра равно радиусу. Указание точки касания помогает точно назвать радиус, для которого действует свойство перпендикулярности.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Часть секущей между этими точками является хордой, то есть отрезком с концами на окружности. Определение секущей нужно, чтобы не путать пересечение в двух точках с касанием в одной.

Расстояние от центра окружности до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту прямую. Перпендикуляр выбирают не случайно: среди отрезков от точки до прямой он самый короткий. Это расстояние обычно обозначают d, а радиус — r; сравнение d и r показывает, сколько общих точек имеют прямая и окружность.

Как это устроено

Чтобы понять, пересечёт ли прямая окружность, представьте перпендикуляр из центра O к прямой. Его основание — ближайшая к центру точка прямой, а длина равна расстоянию d. Любая другая точка прямой находится от O не ближе, поэтому именно d задаёт минимальное расстояние, которое может отделять прямую от центра. Окружность проходит на расстоянии r от центра, и сравнение этих длин показывает, достигнет ли прямая окружности.

Если d меньше r, основание перпендикуляра лежит внутри круга: от него до центра меньше радиуса. При движении по прямой в обе стороны расстояние до центра постепенно увеличивается, поэтому с каждой стороны найдётся точка на расстоянии r. Это и есть две точки пересечения с окружностью. Если d больше r, даже ближайшая точка прямой дальше от центра, чем радиус, а остальные точки ещё дальше; общих точек нет.

При d = r основание перпендикуляра находится на расстоянии радиуса от O, значит, оно лежит на окружности. Любая другая точка прямой удалена от основания, а вместе с перпендикуляром образует прямоугольный треугольник; по теореме Пифагора расстояние от неё до O больше r. Поэтому другой общей точки быть не может: прямая касается окружности именно в основании перпендикуляра.

Радиус, соединяющий центр с точкой касания, перпендикулярен касательной. Иначе отрезок от центра до прямой, проведённый под наклоном, был бы длиннее перпендикуляра, хотя до точки касания его длина равна радиусу. Это противоречило бы тому, что перпендикуляр — кратчайшее расстояние от точки до прямой. Значит, радиус в точку касания образует с касательной угол 90°.

Верно и обратное утверждение. Пусть прямая проходит через точку окружности B и перпендикулярна радиусу OB. Для любой другой точки этой прямой прямоугольный треугольник с катетами OB и отрезком от B до этой точки даёт расстояние до O больше OB. Следовательно, другая точка прямой на окружности находиться не может, а B — единственная общая точка; значит, прямая является касательной.

Взаимное расположение прямой и окружности

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите перпендикулярное расстояние d от центра до прямой, а не длину произвольного отрезка. Затем сравните d с радиусом r и прочитайте число общих точек и положение прямой в соответствующей строке. Равенство означает касание, а не пересечение в двух точках.

Разбор задач

1. Определяем положение прямой

Радиус окружности равен 5 см, расстояние от её центра до прямой — 3 см. Нужно определить взаимное расположение прямой и окружности. Здесь не требуется искать точки пересечения: достаточно сопоставить расстояние d с радиусом r. Сравниваем величины в одинаковых единицах.

1. Запишем данные: r = 5 см, d = 3 см.
2. Сравним: 3 см < 5 см, то есть d < r.
3. По правилу положения прямой при d < r получаем две общие точки.

Ответ: прямая является секущей и пересекает окружность в двух точках. Такой вывод следует из сравнения расстояния до прямой с радиусом, а не из вида чертежа.

2. Находим длину хорды

Радиус окружности равен 13 см, расстояние от центра до прямой — 5 см. Прямая пересекает окружность и отсекает хорду; требуется найти её длину. Перпендикуляр из центра к прямой делит хорду пополам, поэтому удобно сначала найти половину хорды. Центр, основание перпендикуляра и конец хорды образуют прямоугольный треугольник.

1. Обозначим половину хорды через x. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна радиусу 13 см, один катет — расстоянию 5 см.
2. По теореме Пифагора: x² + 5² = 13², поэтому x² = 169 − 25 = 144 и x = 12 см.
3. Хорда состоит из двух равных половин, значит, её длина равна 2 · 12 = 24 см.

Ответ: 24 см. Проверка: расстояние 5 см меньше радиуса 13 см, поэтому пересечение действительно даёт хорду.

3. Доказываем касание и находим длину отрезка

Из точки A к окружности с центром O проведена прямая AB, B — точка окружности, а ∠OBA = 90°. Дано OA = 17 см и OB = 8 см; нужно доказать, что AB — касательная, и найти её длину. Поскольку OB — радиус, а угол между OB и AB прямой, можно применить обратное свойство касательной. Затем в прямоугольном треугольнике OBA найдём неизвестную сторону.

1. Точка B лежит на окружности, а AB перпендикулярна радиусу OB. По обратному свойству касательной AB касается окружности в точке B.
2. Треугольник OBA прямоугольный при B, поэтому OA — гипотенуза. По теореме Пифагора: AB² = OA² − OB².
3. Подставим значения: AB² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225. Так как длина положительна, AB = 15 см.

Ответ: AB — касательная, её длина равна 15 см. Сначала перпендикулярность подтвердила касание, а затем теорема Пифагора дала длину касательного отрезка.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть касательной любую прямую, которая пересекает окружность. При пересечении в двух точках это секущая, а касательная имеет только одну общую точку; путаница возникает, если судить лишь по тому, что прямая «прикасается» к окружности на рисунке. Проверьте число общих точек или сравните d и r: при d = r — касательная, при d < r — секущая.

Вторая ошибка — сравнивать с радиусом произвольный отрезок от центра до прямой. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра, поэтому может привести к неверному выводу; нужное расстояние измеряется именно по перпендикуляру. Для проверки обозначьте его прямой угол на чертеже и только после этого сравнивайте его длину с r.

Третья ошибка — считать, что при d = r прямая пересекает окружность в двух точках. Так путают равенство со случаем d < r, когда основание перпендикуляра лежит внутри круга; при равенстве оно уже лежит на окружности. Проверьте прямоугольный треугольник: любая другая точка прямой будет дальше от центра, чем радиус, поэтому общей остаётся только одна точка.

Четвёртая ошибка — утверждать, что перпендикулярен касательной любой радиус окружности. Перпендикулярность относится лишь к радиусу, проведённому в точку касания, а остальные радиусы направлены к другим точкам окружности. Чтобы проверить себя, назовите точку касания и убедитесь, что именно соединяющий её с центром радиус образует с прямой угол 90°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение окружности и радиуса, а также понятия перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. Без них нельзя правильно найти d и сравнить его с r. Теорема Пифагора помогает вычислять длины половин хорд и касательных отрезков в прямоугольных треугольниках. Свойство касательной также используют в задачах о вписанных и описанных фигурах, где окружность соприкасается со сторонами.

Что запомнить

• Прямая и окружность могут иметь ноль, одну или две общие точки.
• При d < r прямая пересекает окружность в двух точках.
• При d = r прямая касается окружности.
• При d > r прямая не имеет с окружностью общих точек.
• Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Перпендикуляр к радиусу в точке окружности является касательной.