"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — её особый случай, когда отрезок проходит через центр. Свойства хорд помогают сравнивать их длины и находить расстояние от центра до хорды. Если из центра опустить на хорду перпендикуляр, он разделит её пополам. Равные хорды одной окружности одинаково удалены от центра, и верно обратное: хорды на равном расстоянии от центра равны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Например, отрезок AB будет хордой, если точки A и B лежат на окружности. Это понятие нужно, чтобы описывать отрезки внутри круга и сравнивать их длины.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Его концы лежат на окружности, а середина совпадает с центром. Диаметр помогает связать длину хорды с радиусом: он равен двум радиусам.
Расстояние от центра окружности до хорды — длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Перпендикуляр — отрезок, пересекающий прямую под углом 90°. Именно его длину используют, когда говорят, насколько близко хорда расположена к центру.
Серединный перпендикуляр к хорде — прямая, которая проходит через середину хорды под прямым углом к ней. Он нужен, чтобы находить центр окружности: центр лежит на серединном перпендикуляре к каждой её хорде.
Пусть из центра O опущен перпендикуляр OM на хорду AB. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMA и OMB: у них равны гипотенузы OA и OB, потому что это радиусы одной окружности, а катет OM общий. Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету. Их соответствующие отрезки AM и MB равны, поэтому M — середина хорды.
Теперь возьмём серединный перпендикуляр к хорде AB и обозначим её середину M. Треугольники OMA и OMB прямоугольные, имеют равные катеты MA и MB и равные гипотенузы OA и OB. Следовательно, они равны, а углы при M, прилежащие к OM, равны. Вместе они составляют развёрнутый угол, поэтому каждый равен 90°: OM перпендикулярен AB, а значит, прямая через M и O совпадает с серединным перпендикуляром.
Пусть хорды AB и CD равны, а из центра O опущены перпендикуляры OM и ON к ним. Перпендикуляры делят хорды пополам, поэтому AM = CN. Кроме того, OA = OC как радиусы. Прямоугольные треугольники OMA и ONC равны по гипотенузе и катету, откуда OM = ON. Так объясняется, почему равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра.
Обратное утверждение тоже верно. Если расстояния OM и ON от центра до хорд равны, то прямоугольные треугольники OMA и ONC имеют равные гипотенузы-радиусы и общий по длине катет OM = ON. Они равны по гипотенузе и катету, поэтому AM = CN. Перпендикуляры делят хорды пополам, значит, AB = 2AM и CD = 2CN, откуда AB = CD.
Диаметр — частный случай хорды, и к нему применимы те же рассуждения. Если из центра провести перпендикуляр к диаметру, он попадёт в середину диаметра, то есть в сам центр. Поэтому расстояние от центра до диаметра равно нулю, а длина диаметра равна двум радиусам.
| Условие | Вывод | Обоснование |
|---|---|---|
| Перпендикуляр из центра проведён к хорде | Перпендикуляр делит хорду пополам | Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету |
| Прямая проходит через середину хорды перпендикулярно ей | Прямая проходит через центр окружности | Единственность серединного перпендикуляра к хорде |
| Хорды равны | Расстояния от центра до них равны | Равенство соответствующих прямоугольных треугольников |
| Хорды равноудалены от центра | Хорды равны | Обратная теорема о хордах |
Сначала найдите условие задачи в первом столбце, затем проверьте, какой вывод разрешено сделать. Последний столбец показывает, на каком рассуждении основано свойство. Обратите внимание: вывод можно применять в обратную сторону только там, где это прямо указано.
Задача 1. В окружности с центром O перпендикуляр OM проведён к хорде AB. Докажите, что AM = MB.
Ответ: AM = MB. Иными словами, перпендикуляр из центра делит хорду пополам.
Задача 2. Хорды AB и CD одной окружности равны. Расстояние от центра до AB равно 6 см. Найдите расстояние от центра до CD.
Ответ: 6 см. Здесь не требуется знать длину самих хорд: достаточно того, что они равны и принадлежат одной окружности.
Задача 3. Радиус окружности равен 13 см, а расстояние от центра до хорды равно 5 см. Найдите длину хорды.
Ответ: 24 см. При вычислении сначала находят половину хорды, поскольку перпендикуляр из центра делит её пополам.
Ошибка: считать, что любой отрезок из центра к хорде делит её пополам. Это свойство верно только для перпендикуляра, а наклонный отрезок может попасть не в середину хорды. Проверьте, есть ли в условии прямой угол или указание, что отрезок перпендикулярен хорде.
Ошибка: считать равными хорды, у которых есть общая точка. Точки пересечения не определяют длины отрезков, поэтому хорды могут быть разными. Чтобы доказать равенство, используйте известное свойство или сравните длины.
Ошибка: назвать расстоянием от центра до хорды наклонный отрезок. Расстояние измеряют по перпендикуляру, поскольку он является кратчайшим отрезком от точки до прямой. Для самопроверки убедитесь, что у выбранного отрезка угол с хордой равен 90°.
Ошибка: применять свойство равноудалённых хорд к хордам разных окружностей. Результат о равных расстояниях и длинах относится к одной окружности, а у разных окружностей могут быть разные радиусы. Перед применением теоремы проверьте, что обе хорды принадлежат одной окружности.
Для этой темы понадобятся определения окружности, радиуса, диаметра и хорды. Также важно уметь распознавать прямоугольные треугольники, пользоваться признаками их равенства и применять теорему Пифагора. Эти знания объясняют, почему перпендикуляр из центра делит хорду пополам и как по радиусу найти длину хорды.
Свойства хорд помогают решать задачи на окружность, центральные и вписанные углы, а также касательные. С их помощью можно сравнивать положение и длины отрезков, не измеряя их непосредственно. При вычислении длины хорды связь с прямоугольным треугольником позволяет перейти к теореме Пифагора.
Почему именно перпендикуляр из центра делит хорду пополам?
Радиусы, проведённые к концам хорды, равны, а перпендикуляр образует два прямоугольных треугольника. Они равны по гипотенузе и катету, поэтому соответствующие части хорды тоже равны.
Можно ли провести через центр перпендикуляр к любой хорде?
Да: через точку центра можно провести прямую, перпендикулярную данной хорде. Она пересечёт хорду и разделит её пополам.
Чем хорда отличается от диаметра?
Хорда соединяет любые две точки окружности. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр, поэтому он является самой длинной хордой окружности.
Как по расстоянию от центра сравнить две хорды?
Для хорд одной окружности действует обратное свойство: чем ближе хорда к центру, тем она длиннее. Если расстояния от центра равны, хорды равны; если расстояния различны, длины хорд различны.
Как найти длину хорды, если известны радиус и расстояние до неё?
Опустите из центра перпендикуляр на хорду: он разделит её пополам. Если радиус равен R, а расстояние до хорды — d, половина хорды равна √(R² − d²), а вся хорда — 2√(R² − d²).
11.1. Свойства хорд
