"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Хорда соединяет две точки окружности, секущая пересекает её в двух точках, а касательная имеет одну общую точку с окружностью. Эти объекты помогают находить неизвестные отрезки с помощью произведений: у пересекающихся хорд перемножаются части каждой хорды, у секущих — внешний и полный отрезки, а квадрат касательной равен такому же произведению для секущей. Главное — правильно определить конфигурацию на рисунке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Его концы лежат на окружности, например отрезок AB с концами A и B. Диаметр — частный случай хорды, проходящей через центр окружности, поэтому он особенно важен в задачах.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если прямая проходит через A и B, то части PA и PB могут обозначать отрезки секущей от внешней точки P до ближайшей и дальнейшей точек окружности. Нужно различать саму бесконечную прямую и её отрезки.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Эта точка называется точкой касания, например T на прямой PT. Касательная не проходит внутрь окружности, поэтому её отрезок от внешней точки до T нельзя путать с хордой.
Степень точки относительно окружности — число, которое выражается произведением отрезков, связанных с этой точкой. Для пересекающихся хорд это произведение двух частей одной хорды, для секущих — внешнего и полного отрезков, а для касательной — квадрат длины касательной. Понятие объединяет три основные теоремы параграфа.
Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке M. Рассмотрим треугольники AMC и BMD: вертикальные углы при M равны, а углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, тоже равны. Поэтому треугольники подобны по двум углам, а из пропорции соответствующих сторон получается AM · MB = CM · MD.
Из внешней точки P проведём две секущие PAB и PCD. Треугольники, образованные лучами секущих и хордами AD или BC, подобны: один угол у них общий, а другие углы опираются на одинаковые дуги. Из подобия следует PA/PС = PD/PB, после преобразования получаем PA · PB = PC · PD. Поэтому берутся внешний и полный отрезки каждой секущей.
Пусть из точки P проведены касательная PT и секущая PAB. Треугольник с касательной можно сопоставить треугольнику, построенному на отрезках секущей: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Возникают подобные треугольники, и пропорция даёт PT/PA = PB/PT, то есть PT² = PA · PB.
Выбирать равенство нужно по положению точки и линий. Две хорды пересекаются внутри окружности; две секущие начинаются в одной внешней точке; касательная и секущая также исходят из внешней точки, но одна линия касается окружности только в одном месте. Такой анализ рисунка важнее буквенных обозначений.
Чтобы найти неизвестный отрезок, сначала запишите подходящую формулу, затем подставьте известные длины и решите уравнение. Если неизвестна касательная, после вычисления произведения извлекают квадратный корень и берут положительное значение. Проверьте, что длины положительны, полный отрезок больше внешнего, а найденная часть секущей не превышает полного отрезка.
В таблице сначала определите конфигурацию, затем найдите на каждой линии нужные части. Полный отрезок секущей считают от внешней точки до дальней точки окружности, а внешний — до ближайшей точки. Если неизвестна часть секущей, полный отрезок часто приходится находить сложением.
| Конфигурация | Основное равенство | Какие отрезки используются | Что можно найти |
|---|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой | Два отрезка каждой хорды от точки пересечения до концов окружности | Неизвестный отрезок хорды |
| Из одной внешней точки проведены две секущие | Произведение внешнего и полного отрезков одной секущей равно такому же произведению для другой | Для каждой секущей — внешний отрезок и вся секущая от точки до дальней точки окружности | Внешний или полный отрезок секущей |
| Из одной внешней точки проведены касательная и секущая | Квадрат касательной равен произведению внешнего и полного отрезков секущей | Касательная от точки до точки касания; внешний и полный отрезки секущей | Длину касательной или отрезок секущей |
В первой строке все четыре множителя относятся к частям хорд, во второй и третьей обязательно появляется внешний отрезок. Не заменяйте полный отрезок только внутренней частью: это изменит теорему.
Задача 1. Две хорды AB и CD пересекаются в точке M. Известно: AM = 3 см, MB = 8 см, CM = 4 см. Найдите MD. Здесь точка пересечения находится внутри окружности, поэтому подходит теорема о хордах.
Ответ: MD = 6 см. Проверка показывает, что все длины положительны, а равенство произведений выполняется: 3 · 8 = 4 · 6.
Задача 2. Из точки P проведены две секущие. Для первой внешняя часть равна 4 см, полная секущая — 16 см; для второй внешняя часть равна 8 см. Найдите полную длину второй секущей. Обозначим её через x и применим теорему о двух секущих.
Ответ: полная длина второй секущей равна 8 см. Она не может быть меньше внешней части, и здесь равенство означает, что внутренняя часть имеет длину 0, что невозможно для обычной секущей, пересекающей окружность в двух различных точках.
Следовательно, в условии есть геометрическое противоречие: при данных числах вторая полная секущая должна быть 8 см, но её внешний отрезок уже равен 8 см. Алгебраическое равенство решено верно, однако такая конфигурация не существует для невырожденной окружности. Это хороший пример обязательной проверки результата.
Задача 3. Из точки P к окружности проведены касательная PT и секущая PAB. Известно: PA = 5 см, AB = 11 см. Найдите PT. Сначала нужно восстановить полный отрезок секущей PB.
Ответ: PT = 4√5 см, или примерно 8,94 см. Берём только положительный корень, потому что длина отрезка не бывает отрицательной.
Часто перемножают два внешних отрезка вместо внешнего и полного. Так происходит, когда части секущей не отмечают отдельно. Проверьте себя: второй множитель на каждой секущей должен доходить до дальней точки окружности.
Теорему о пересекающихся хордах иногда применяют к точке вне окружности. Она действует только тогда, когда две хорды пересекаются внутри окружности. Если линии начинаются во внешней точке, нужны формулы для двух секущих или для касательной и секущей.
В формуле для касательной вместо внешнего и полного отрезков секущей пишут квадрат внешней части. Причина — механическое запоминание формулы без анализа обозначений. Запишите PT² = PA · PB и проверьте, что PB — вся секущая от P до дальней точки.
Касательную принимают за хорду или секущую, потому что смотрят только на её отрезок. Но классифицируют прямую по числу общих точек с окружностью: у касательной их одна, у секущей две, у хорды концов два, хотя это отрезок, а не прямая.
Для изучения темы нужны понятия окружности, радиуса, диаметра и хорды. При доказательствах используется подобие треугольников, а также свойства равнобедренного треугольника и углов, связанных с дугами.
Соотношения помогают решать задачи на окружность, пропорциональные отрезки и вычисление длин геометрических объектов. Через них повторяются идеи подобия: равенство углов превращается в пропорцию сторон, а затем — в произведение отрезков.
Дальше эти формулы пригодятся при изучении вписанных фигур и других задач об окружностях. В координатной геометрии они помогают проверять взаимное положение прямых и окружностей и находить расстояния.
Чем секущая отличается от хорды?
Секущая — это бесконечная прямая, которая пересекает окружность в двух точках. Хорда — только отрезок между этими точками, поэтому она является частью секущей.
Почему в теореме о секущих нужно умножать внешний отрезок на полный?
Такое произведение появляется из подобия треугольников, образованных двумя секущими и окружностью. Внешний отрезок идёт от точки до ближайшего пересечения с окружностью, а полный — до дальней точки.
Можно ли считать касательную хордой?
Нет. Касательная имеет с окружностью одну общую точку и не соединяет две точки окружности. Хорда всегда имеет два конца на окружности.
Как понять, какую из трёх теорем применять к рисунку?
Сначала найдите точку, из которой или в которой проходят отрезки. Если пересечение хорд находится внутри окружности, используйте произведение частей хорд; для двух секущих с внешней точки — произведение внешнего и полного отрезков; для касательной и секущей — квадрат касательной.
Что делать, если в условии дана только часть секущей?
Сначала выразите полный отрезок секущей как сумму внешней части и части внутри окружности. Затем подставьте его в нужное равенство.
§ 11. Хорды, касательные, секущие
