"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Метод координат помогает решать геометрические задачи с помощью чисел и уравнений. Точкам на плоскости ставят в соответствие пары чисел, а длины, середины отрезков и свойства фигур выражают формулами. Удобно выбранная система координат сокращает вычисления, но ответ нужно проверить геометрически: удовлетворяет ли он условию и соответствует ли смыслу задачи. В главе повторяются приёмы работы с прямыми, окружностями и координатами точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат — это две перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта и выбранным единичным отрезком. Горизонтальную ось обычно обозначают x, вертикальную — y, а место, где они пересекаются, — O. Такая система задаёт координатную плоскость и позволяет описывать положение точек числами.
Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), где первое число показывает положение по горизонтали, а второе — по вертикали. Эти числа называют абсциссой и ординатой соответственно. Порядок важен: запись A(2; 5) означает, что точка находится на 2 единицы по оси x и на 5 по оси y.
Уравнение прямой — равенство с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты всех точек этой прямой. Например, если точка лежит на прямой, её координаты при подстановке должны превратить равенство в верное. Уравнение помогает проверять принадлежность точек и находить пересечения прямых с другими фигурами.
Уравнение окружности связывает координаты любой её точки с координатами центра и радиусом. Для центра O(a; b) и радиуса r оно имеет вид (x − a)² + (y − b)² = r². Его получают из условия, что расстояние от точки окружности до центра постоянно и равно r; поэтому по записи можно восстановить центр и радиус.
Выбор системы координат позволяет заменить описание фигуры числами, а геометрическое условие — уравнением. Например, перпендикулярные направления становятся осями, а положение вершины задаётся парой чисел. После этого можно использовать знакомые правила алгебры, а в конце истолковать результат как свойство фигуры. Выгодное расположение осей уменьшает число ненулевых координат и упрощает вычисления.
Чтобы найти расстояние между A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), рассматривают горизонтальное и вертикальное перемещения: x₂ − x₁ и y₂ − y₁. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок AB — гипотенузу, поэтому AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Середина делит каждое перемещение пополам, значит, её координаты равны средним арифметическим координат концов. Координаты вектора AB получают вычитанием координат начала из координат конца: (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
Прямую можно задать двумя различными точками, потому что через них проходит ровно одна прямая. Если P(x₁; y₁) и Q(x₂; y₂), то её точки удовлетворяют условию (x − x₁)(y₂ − y₁) = (y − y₁)(x₂ − x₁). Это равенство выражает параллельность векторов отрезка PQ и отрезка от P до произвольной точки прямой. Чтобы проверить принадлежность точки, подставляют её координаты в уравнение: верное равенство означает, что точка лежит на прямой.
Окружность — множество точек, находящихся на одном и том же расстоянии r от центра O(a; b). По формуле расстояния для точки (x; y) получаем √((x − a)² + (y − b)²) = r; возведение обеих частей в квадрат даёт уравнение окружности. Поэтому центр считывается из выражений в скобках, а радиус — из правой части: например, в (x − 2)² + (y + 1)² = 25 центр (2; −1), радиус 5. Для поиска пересечений окружности с прямой решают систему двух уравнений и проверяют каждую найденную пару.
Удобное расположение фигур выбирают не наугад: полезно поместить начало координат в центр симметрии или вершину, а оси направить вдоль сторон. Так некоторые координаты становятся нулевыми, а формулы — короче. После вычислений нужно сверить ответ с исходной геометрией: например, длина не может быть отрицательной, а число пересечений должно соответствовать расположению фигур. Такая проверка помогает заметить арифметическую ошибку или лишнее решение.
| Тип задачи | Что выразить координатами | Основная формула или условие | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Нахождение длины отрезка | Разности абсцисс и ординат концов | Теорема Пифагора для координатных приращений | Неотрицательность длины и соответствие рисунку |
| Нахождение середины отрезка | Координаты концов отрезка | Средние арифметические соответствующих координат | Середина должна лежать на данном отрезке |
| Проверка коллинеарности точек | Координаты двух направляющих векторов | Пропорциональность соответствующих координат | Отсутствие деления на нуль и совпадения точек |
| Составление уравнения прямой | Координаты двух точек или точка и направление | Условие принадлежности точки прямой | Подстановка исходных точек в уравнение |
| Исследование окружности и её пересечений | Центр, радиус и координаты точек фигуры | Уравнение окружности и система с уравнением другой линии | Число и расположение найденных точек |
Сначала определи, какие координаты неизвестны, а затем выбери формулу или условие, прямо связанное с задачей. Последний столбец не формальность: проверки позволяют обнаружить ошибку в вычислениях и понять, подходит ли ответ к фигуре.
Задача 1. Даны точки A(−2; 3) и B(4; −1). Найдите длину отрезка AB, координаты его середины и координаты вектора AB.
Для длины отрезка найдём разности координат: 4 − (−2) = 6 по горизонтали и −1 − 3 = −4 по вертикали. По теореме Пифагора AB = √(6² + (−4)²) = √52 = 2√13.
Координаты середины — средние арифметические координат концов. Получаем ((−2 + 4)/2; (3 + (−1))/2) = (1; 1).
Вектор AB направлен от A к B, поэтому из координат B вычитаем координаты A. Его координаты: (4 − (−2); −1 − 3) = (6; −4).
Ответ: AB = 2√13, середина (1; 1), вектор AB = (6; −4). Длина положительна, а координаты середины находятся между координатами концов по каждой оси.
Задача 2. Докажите методом координат, что четырёхугольник с вершинами A(1; 2), B(5; 4), C(7; 1), D(3; −1) является параллелограммом.
У параллелограмма диагонали делятся пополам. Поэтому достаточно найти середины AC и BD и проверить, совпадают ли они.
Середина AC: ((1 + 7)/2; (2 + 1)/2) = (4; 3/2). Середина BD: ((5 + 3)/2; (4 + (−1))/2) = (4; 3/2).
Диагонали имеют общую середину. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, четырёхугольник является параллелограммом, поэтому полученное равенство доказывает требуемое.
Ответ: ABCD — параллелограмм, так как середины его диагоналей совпадают.
Задача 3. Найдите точки пересечения окружности (x − 2)² + (y + 1)² = 25 и прямой y = x − 4, затем определите длину хорды.
Точки пересечения должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям. Подставим y = x − 4 в уравнение окружности: (x − 2)² + (x − 3)² = 25.
Раскрываем скобки: x² − 4x + 4 + x² − 6x + 9 = 25, значит, 2x² − 10x − 12 = 0. После деления на 2 получаем x² − 5x − 6 = 0, откуда x = 6 или x = −1.
По уравнению прямой соответствующие значения y равны 2 и −5. Точки пересечения — (6; 2) и (−1; −5); обе удовлетворяют уравнению окружности и прямой.
Длина хорды — расстояние между найденными точками. Разности координат равны 7 и 7, поэтому длина равна √(7² + 7²) = 7√2.
Ответ: точки (6; 2) и (−1; −5), длина хорды 7√2.
Переставляют координаты местами. В записи точки сначала указывают абсциссу, затем ординату, но при спешке этот порядок легко нарушить. Проверяй, какое число относится к оси x, а какое — к оси y, и подставляй их в уравнение в той же последовательности.
Ошибаются в знаках разностей и при раскрытии скобок. Например, 4 − (−2) = 6, а не 2; такая ошибка меняет длину или координаты вектора. Записывай разность целиком, заключая отрицательные числа в скобки, а результат проверяй подстановкой.
Неверно находят середину отрезка. Иногда усредняют координаты только по одной оси или забывают разделить сумму на 2. Считай абсциссу и ординату отдельно по одной формуле и проверь, что точка находится между концами отрезка.
Принимают любое решение системы за подходящую точку фигуры. Так бывает, если забыть проверить исходные уравнения или ограничение задачи, например принадлежность отрезку. Подставь координаты в оба уравнения и сопоставь найденную точку с геометрическим условием.
Для работы методом координат нужны знания о координатной плоскости, действиях с числами, теореме Пифагора и решении линейных и квадратных уравнений. Формулы длины и середины отрезка опираются на понятия вектора и отрезка, изученные в предыдущей главе. Дальше эти приёмы помогают исследовать прямые и окружности, доказывать геометрические утверждения и решать координатные задачи в старших классах.
Как выбрать начало координат и расположение осей, чтобы решение стало короче?
Размести начало координат в удобной точке: например, в вершине фигуры, центре окружности или середине отрезка. Если в задаче есть перпендикулярные направления, можно направить по ним оси. Выбирай расположение так, чтобы как можно больше координат были нулевыми или простыми.
Как быстро проверить, лежит ли точка на данной прямой или окружности?
Подставь координаты точки в уравнение. Если равенство верно, точка принадлежит прямой или окружности; если нет — не принадлежит. Для окружности подставляй обе координаты в её уравнение целиком.
Почему при нахождении расстояния между точками координаты сначала вычитают, а затем возводят в квадрат?
Разности координат показывают длины горизонтального и вертикального катетов прямоугольного треугольника. Расстояние между точками — его гипотенуза, поэтому по теореме Пифагора квадрат разности катетов складывают. Затем извлекают квадратный корень.
Как понять, какой способ доказательства удобнее: через векторы, середины диагоналей или уравнения?
Выбирай способ, который требует меньше вычислений и напрямую проверяет нужное свойство. Для параллелограмма удобно сравнить векторы противоположных сторон или середины диагоналей. Уравнения полезны, когда нужно проверить принадлежность точек прямой или найти пересечения.
Что делать, если при решении системы получаются точки, не соответствующие условию задачи?
Подставь найденные координаты в исходные уравнения и проверь, что они удовлетворяют обоим. Затем сопоставь точки с геометрическим условием: например, не были ли нужны пересечения только на определённом отрезке. Лишние решения исключи и объясни почему.
З Задачи к главе II
