10.4. Признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, они имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером: один треугольник можно увеличить или уменьшить, сохранив его форму. Это понятие помогает сравнивать фигуры и переносить известные соотношения длин с одного треугольника на другой.

Соответственные элементы — углы и стороны, занимающие одинаковое положение в сопоставленных треугольниках. Вершины сопоставляют по равным углам или по данным задачи, а сторона соответствует стороне, соединяющей такие же пары вершин. Например, если A соответствует D, B — E, C — F, то AB соответствует DE, а угол A — углу D.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. При подобии это отношение одинаково для каждой пары сторон: AB/DE = BC/EF = AC/DF. Коэффициент зависит от порядка сравнения, поэтому при переходе от второго треугольника к первому получится обратное отношение.

Признаки подобия треугольников — условия, по которым можно установить подобие, не проверяя отдельно равенство всех углов и пропорциональность всех сторон. Достаточно подтвердить один подходящий признак и правильно определить соответствующие вершины. Такой способ сокращает доказательство и помогает сразу перейти к вычислениям.

Как это устроено

Если две пары соответствующих углов равны, равны и третьи углы. Причина в том, что сумма углов каждого треугольника составляет 180°: после вычитания равных углов оставшиеся углы тоже совпадают. Значит, соответствующие углы всех трёх пар равны, и треугольники подобны по двум углам; проверять третью пару отдельно не нужно.

Для второго признака сравнивают две пары соответствующих сторон и углы между ними. Если стороны пропорциональны, то один треугольник можно мысленно увеличить или уменьшить так, чтобы эти две стороны сравнялись с соответствующими сторонами второго. Равный угол между ними задаёт одинаковое направление сторон, поэтому форма треугольников совпадает; это и есть признак по двум сторонам и углу между ними.

В третьем признаке проверяют пропорциональность всех трёх пар соответствующих сторон. Можно представить, что один треугольник увеличили в одно и то же число раз: тогда длины всех его сторон совпадут с соответствующими сторонами другого. Треугольник однозначно задаётся длинами трёх сторон, поэтому при таком соответствии совпадают и его углы; треугольники подобны.

Во всех случаях сначала устанавливают соответствие вершин. Например, равенство углов A и D задаёт пару A ↔ D, а равенство B и E — пару B ↔ E; оставшиеся вершины также соответствуют друг другу. Только после этого можно верно сопоставить стороны и записать отношения: случайный порядок длин не проверяет нужную пропорцию.

Признаки позволяют доказать подобие, не находя заранее все неизвестные величины. После доказательства можно использовать равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон, чтобы вычислить длину или угол. Например, известное отношение двух соответствующих сторон даёт масштаб перехода от одного треугольника к другому, а по нему можно найти третью сторону.

Признаки подобия треугольников

Сначала выберите строку, условия которой соответствуют данным задачи. Затем проверьте равенства углов или пропорции именно для соответствующих элементов. Если все условия строки выполнены, можно записать вывод о подобии треугольников.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF углы A и D равны, углы B и E равны. Докажите, что треугольники подобны. Даны две пары равных углов, поэтому сначала сопоставим вершины, а затем применим подходящий признак.

1. Из равенств углов следует соответствие A ↔ D и B ↔ E. Оставшиеся вершины C и F тоже соответствуют друг другу.
2. Значит, равны две пары соответствующих углов. По признаку подобия по двум углам треугольники ABC и DEF подобны.

Ответ: △ABC ∼ △DEF, соответствие вершин — A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Задача 2. В треугольниках ABC и DEF: AB = 6, AC = 9, DE = 8, DF = 12, ∠A = ∠D. Докажите подобие. Стороны AB и AC сходятся в A, а DE и DF — в D, поэтому данные углы заключены между рассматриваемыми сторонами.

1. Сопоставим A ↔ D, а стороны AB ↔ DE и AC ↔ DF. Проверим отношения: AB/DE = 6/8 = 3/4, AC/DF = 9/12 = 3/4.
2. Получили пропорциональность двух пар соответствующих сторон. Углы между ними равны по условию, значит, выполнен признак по двум сторонам и углу между ними.
3. Вершины B и E, C и F соответствуют друг другу, поэтому подобие записываем в порядке ABC и DEF.

Ответ: △ABC ∼ △DEF.

Задача 3. Стороны ABC равны 5, 7 и 9, а стороны DEF — 10, 14 и 18. Докажите подобие и найдите коэффициент подобия ABC к DEF. Сопоставим стороны по длинам: 5 с 10, 7 с 14, 9 с 18; соответствующие вершины располагаем так, чтобы эти стороны соответствовали друг другу.

1. Проверим три отношения: 5/10 = 1/2, 7/14 = 1/2, 9/18 = 1/2. Все три пары сторон пропорциональны.
2. По признаку подобия по трём сторонам треугольники подобны. Коэффициент ABC к DEF равен отношению стороны первого треугольника к соответствующей стороне второго: k = 1/2.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент подобия ABC к DEF равен 1/2.

Типичные ошибки

Сравнивать стороны в случайном порядке нельзя: даже при одинаковом наборе длин можно составить неверные отношения. Ошибку допускают, когда смотрят только на числа и забывают о расположении сторон относительно соответствующих углов. Сначала сопоставьте вершины, затем запишите пары сторон и проверьте, что все отношения устроены одинаково.

Одного равенства двух сторон недостаточно для признака по двум сторонам и углу между ними. Такие данные не задают форму треугольника: при тех же длинах сторон положение сторон может отличаться. Проверьте, что стороны не просто равны или пропорциональны, а угол между ними тоже равен.

Нельзя подставлять в этот признак равный угол, который не заключён между выбранными сторонами. Это частая ошибка, потому что равенство какого-либо угла кажется достаточным дополнением к пропорциям. Проследите, из какой вершины выходят обе рассматриваемые стороны: именно угол при этой вершине должен быть равен соответствующему углу.

Коэффициент подобия легко записать в обратном порядке. Причина — в том, что оба отношения допустимы, но отвечают разным направлениям сравнения. Перед вычислением напишите, например, «ABC к DEF», и делите длину стороны ABC на длину соответствующей стороны DEF.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°: это объясняет, почему равенство двух углов обеспечивает равенство третьих. Также понадобятся отношения и пропорции, чтобы сравнивать соответствующие стороны и находить коэффициент подобия. Эти знания связывают свойства углов с вычислениями длин.

Подобие используют, чтобы находить неизвестные стороны и доказывать геометрические утверждения. Оно также пригодится при изучении теоремы о пропорциональных отрезках: подобные треугольники помогают обосновать отношения между частями фигур. Умение правильно сопоставлять элементы важно и в более сложных задачах на доказательство.

Что запомнить

• Для подобия достаточно проверить один из трёх признаков.
• По двум углам треугольники подобны.
• По двум пропорциональным сторонам и равным углам между ними треугольники подобны.
• По трём пропорциональным сторонам треугольники подобны.
• Пропорции составляют только для соответствующих сторон.
• При подобии соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.