3.3. Признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобными называют треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими называют углы и стороны, занимающие одинаковое положение в двух фигурах. Например, запись △ABC ∼ △DEF означает, что вершины A и D, B и E, C и F соответствуют друг другу. По этой записи можно сразу установить, какие углы равны и какие стороны нужно сравнивать.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого. Например, если △ABC сравниваем с △DEF, коэффициентом будет AB/DE, и такое же отношение получится для BC/EF и AC/DF. Если поменять порядок сравнения и взять △DEF к △ABC, коэффициент станет обратным. Поэтому при вычислении нужно ясно указать, какой треугольник рассматривается первым.

Первый признак подобия гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Этот признак удобен, когда известны углы, но длины сторон даны не все или их ещё не удалось найти. Для вывода достаточно сопоставить две пары углов и проверить, что пары действительно соответствуют друг другу. Третьи углы отдельно искать для применения признака не требуется.

Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, то треугольники подобны. Во втором случае обязательно сравнивают именно угол между выбранными сторонами. Эти признаки позволяют устанавливать подобие по разным наборам исходных данных.

Как это устроено

У треугольника сумма углов равна 180°. Поэтому, если два угла одного треугольника равны двум углам другого, каждый оставшийся угол тоже будет равен: его можно найти, вычтя известные углы из 180°. Значит, совпадают все три пары соответствующих углов. При таких углах треугольники имеют одну форму, а различие в размерах выражается одним общим отношением соответствующих сторон. Так обосновывается первый признак подобия.

Во втором признаке известны отношения двух пар сторон и угол между ними. Равный включённый угол задаёт одинаковое раскрытие сторон, а одинаковое отношение длин этих сторон задаёт их масштаб относительно друг друга. Поэтому угол и пропорции не позволяют треугольникам иметь разную форму. Соответствующие оставшиеся углы также равны, а третьи стороны оказываются в том же отношении, что и заданные стороны. Именно поэтому достаточно проверить эти три условия, а не измерять все элементы.

Если пропорциональны все три пары соответствующих сторон, каждую сторону одного треугольника можно получить умножением соответствующей стороны другого на одно и то же число. Такое увеличение или уменьшение сохраняет форму треугольника: меняется размер, но не углы. Поэтому соответствующие углы равны, и треугольники подобны по третьему признаку. Равенство углов в этой ситуации следует из пропорциональности сторон, так что его не нужно доказывать отдельно.

Перед применением любого признака нужно правильно установить соответствие вершин. Его часто подсказывают равные углы: равные углы лежат напротив соответствующих сторон, а в записи подобия соответствующие вершины стоят на одинаковых местах. Например, если A ↔ D и B ↔ E, то стороне AB соответствует DE, а не произвольная сторона второго треугольника. После этого отношения записывают в одном направлении, например AB/DE = BC/EF. Так меньше риск сравнить несоответствующие элементы и получить ложный вывод.

Признаки подобия экономят работу: они позволяют доказать, что треугольники подобны, не устанавливая отдельно равенство всех трёх углов и пропорциональность всех трёх сторон. Нужно выбрать тот признак, для которого хватает известных данных. Если известны две пары углов, используют первый; если даны две пропорциональные стороны и угол между ними — второй; если известны три пары пропорциональных сторон — третий. После доказательства подобия можно использовать уже все свойства соответствующих элементов.

Признаки подобия треугольников

Сначала найди в условии данные, которые подходят одному из столбцов, и установи соответствие элементов. Затем проверь, что все условия выбранного признака выполнены, особенно равенство включённого угла во втором признаке. Если условия соблюдены, можно сделать вывод о подобии, не проверяя остальные элементы по отдельности.

Разбор задач

Задача 1

В двух треугольниках по два угла равны: 40° и 70°. Нужно определить, подобны ли треугольники. Сопоставим углы по их величинам, а затем применим первый признак подобия. Сумма углов треугольника равна 180°.

1. В каждом треугольнике известны два одинаковых угла: 40° и 70°.
2. Третий угол равен 180° − 40° − 70° = 70° в каждом треугольнике.
3. Все соответствующие углы равны, в частности равны две пары углов, поэтому подходит первый признак.

Ответ: треугольники подобны по первому признаку. Равенство третьих углов подтверждает, что совпадают все углы. Длины сторон для этого вывода знать не нужно.

Задача 2

Стороны, образующие равные углы в двух треугольниках, равны 6 см и 9 см в первом, 8 см и 12 см во втором. Определим, подобны ли треугольники. Сначала сравним отношения сторон, затем убедимся, что заданные равные углы заключены между этими сторонами.

1. Сопоставим меньшие стороны друг с другом, а большие — друг с другом: 6 см с 8 см и 9 см с 12 см.
2. Проверим пропорциональность: 6/8 = 3/4 и 9/12 = 3/4, значит, отношения соответствующих сторон равны.
3. По условию углы между этими сторонами равны, поэтому выполнены условия второго признака.

Ответ: треугольники подобны по второму признаку. Их соответствующие стороны относятся как 3:4 при сравнении первого треугольника со вторым. Равенство углов здесь важно именно потому, что это углы между проверенными сторонами.

Задача 3

Стороны одного треугольника равны 5, 7 и 9 см, другого — 10, 14 и 18 см. Нужно доказать подобие и найти коэффициент подобия второго треугольника к первому. Стороны сопоставим по величине, так как каждому числу первого набора соответствует сторона вдвое больше во втором.

1. Составим отношения сторон второго треугольника к сторонам первого: 10/5 = 2, 14/7 = 2, 18/9 = 2.
2. Все три отношения равны, следовательно, все три пары соответствующих сторон пропорциональны.
3. Применим третий признак: треугольники подобны. Для коэффициента второго треугольника к первому делим сторону второго на соответствующую сторону первого.

Ответ: треугольники подобны по третьему признаку, коэффициент подобия второго к первому равен 2. Это означает, что каждая сторона второго треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны первого. При обратном сравнении коэффициент был бы 1/2.

Типичные ошибки

• Стороны иногда сопоставляют только по порядку их записи, не проверяя вершины. Это приводит к неверным отношениям, потому что порядок сторон в условии может не задавать соответствие. Сначала найди равные углы или установи соответствие вершин по записи подобия, затем проверь пары сторон.

• Во втором признаке ошибочно берут любые равные углы, даже если они не заключены между выбранными сторонами. Так происходит, когда проверяют равенство углов отдельно от того, какие стороны сравниваются. Отметь две стороны в каждом треугольнике и убедись, что общий для них угол равен углу между соответствующими сторонами второго треугольника.

• Одну пару равных углов принимают за достаточное условие подобия. Однако первый признак требует две пары соответствующих равных углов, а один общий угол ещё не определяет форму треугольника. Перед выводом о подобии пересчитай известные пары углов и убедись, что их не меньше двух.

• Коэффициент подобия записывают в обратном порядке относительно того, что спрашивается. Путаница возникает, если не указано, стороны какого треугольника стоят в числителе. Запиши название сравниваемых треугольников и отношение одной пары соответствующих сторон; при перестановке треугольников проверь, что коэффициент стал обратным.

Связь с другими темами

Для изучения признаков нужно уметь пользоваться суммой углов треугольника, свойствами равных углов и пропорциями. Эти знания помогают устанавливать соответствие элементов и проверять нужные отношения. Признаки подобия применяют при вычислении неизвестных сторон и доказательстве геометрических утверждений, в том числе в задачах с параллельными прямыми. Тема опирается на свойства пропорциональных отрезков и подготавливает к изучению метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.

Что запомнить

• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
• Для первого признака достаточно равенства двух пар углов.
• Во втором признаке пропорциональны две стороны и равен угол между ними.
• Для третьего признака должны быть пропорциональны все три пары соответствующих сторон.
• Порядок вершин в записи подобия задаёт соответствие углов и сторон.
• Коэффициент подобия зависит от того, какой треугольник сравнивают с каким.