"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Подобные треугольники имеют одинаковую форму, хотя могут отличаться размером: их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Это свойство помогает находить неизвестные длины по известным, сравнивать фигуры и вычислять расстояния, которые трудно измерить напрямую. Подобие можно установить по двум углам, по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам. Отношение соответствующих сторон показывает масштаб изменения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, если △ABC ∼ △DEF, то углы A и D, B и E, C и F равны, а отношения соответствующих сторон одинаковы. Подобие означает, что фигуры имеют одну форму, но могут различаться размером. Это позволяет использовать известные длины одной фигуры для нахождения длин другой.
Соответствующие вершины — это вершины, которые сопоставлены друг другу, а соответствующие стороны соединяют соответствующие пары вершин. В записи △ABC ∼ △DEF порядок букв показывает соответствие: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Поэтому стороне AB соответствует DE, стороне BC — EF, а стороне AC — DF. Правильное соответствие нужно установить до вычислений, иначе пропорция будет составлена неверно.
Коэффициент подобия — отношение длин двух соответствующих сторон, взятых в заранее выбранном порядке. Если △ABC ∼ △DEF и k = DE/AB, то k показывает, во сколько раз сторона второго треугольника длиннее стороны первого. При k > 1 второй треугольник больше, а при 0 < k < 1 — меньше. Один и тот же порядок нужно сохранять и при составлении остальных отношений.
Равные соответствующие углы задают одинаковую форму треугольников, а пропорциональные стороны показывают, что все линейные размеры изменились в одном масштабе. Поэтому отношения соответствующих сторон совпадают: AB/DE = BC/EF = AC/DF, если порядок в каждом отношении выбран одинаково. Когда известно подобие, не требуется измерять каждую сторону отдельно: достаточно найти один коэффициент и перенести его на другие стороны. Так геометрическое сходство превращается в вычислительную пропорцию.
Чтобы пользоваться записью подобия, сначала сопоставьте буквы в одинаковых позициях: первая с первой, вторая со второй, третья с третьей. Например, из △ABC ∼ △DEF следует, что угол B соответствует углу E, а сторона AC — стороне DF. Затем запишите отношение сторон в выбранном направлении, например AB/DE = BC/EF. Это помогает проверить себя: в каждой паре должны стоять стороны, соединяющие соответствующие вершины.
По признаку двух углов треугольники подобны, если два угла одного соответственно равны двум углам другого. Третий угол тоже окажется равным: из суммы 180° вычитаются одинаковые величины двух известных углов. Значит, форма обоих треугольников совпадает, а их стороны отличаются только общим масштабом. Поэтому измерять или сравнивать стороны для доказательства уже не нужно.
Признак по двум сторонам и углу между ними применяют, когда две пары соответствующих сторон пропорциональны, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Угол должен быть именно между выбранными сторонами: он фиксирует их взаимное положение и не даёт треугольнику менять форму. Тогда третья сторона и остальные углы также согласуются с тем же масштабом. Одного равенства двух сторон без условия об угле для этого вывода недостаточно.
По признаку трёх сторон достаточно проверить, что все три пары соответствующих сторон пропорциональны. Если отношения сторон одинаковы, каждый линейный размер изменён в одном масштабе, и треугольники подобны. Признаки позволяют доказать подобие по небольшому набору данных, не сравнивая все углы и стороны напрямую. Выбирайте тот признак, для которого в условии уже даны нужные величины.
В таблице собраны условия, по которым можно выбрать признак подобия. Сначала найдите, какие данные известны в задаче, затем сопоставьте их со столбцом «Что сравнивают». Если условие выполнено, подобие доказано, и можно составлять пропорции соответствующих сторон.
| Признак | Что сравнивают | Условие подобия |
|---|---|---|
| По двум углам | Два соответствующих угла | Углы попарно равны |
| По двум сторонам и углу между ними | Две пары соответствующих сторон и угол между ними | Стороны пропорциональны, углы равны |
| По трём сторонам | Три пары соответствующих сторон | Стороны попарно пропорциональны |
Задача 1. У двух треугольников углы равны 40° и 75°. Нужно определить, подобны ли треугольники. Здесь известны две пары равных углов, поэтому проверять длины сторон не требуется. Применим признак подобия по двум углам.
Ответ: треугольники подобны. Совпадение третьих углов дополнительно подтверждает, что соответствие углов установлено правильно.
Задача 2. В двух треугольниках соответствующие стороны равны 6 см и 9 см, углы между ними равны. Сторона первого треугольника, соответствующая стороне 6 см, равна 8 см. Найдём сторону второго, соответствующую стороне 8 см. Равный угол находится между пропорциональными сторонами, поэтому подходит признак по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: искомая сторона второго треугольника равна 12 см. Коэффициент больше 1, поэтому результат должен быть больше соответствующей стороны первого треугольника.
Задача 3. Стороны одного треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см, другого — 10 см, 14 см и 18 см. Докажем подобие и найдём отношение периметров первого и второго треугольников. Сопоставим стороны в указанном порядке: от меньшей к большей. Проверка всех трёх отношений покажет общий масштаб.
Ответ: треугольники подобны, отношение периметров первого и второго равно 1:2. Это совпадает с отношением соответствующих сторон в том же порядке.
Ошибка — сопоставлять стороны только по их положению на рисунке. Рисунок может быть повернут или изображён не в масштабе, поэтому визуально «верхняя» сторона не обязательно соответствует другой верхней стороне. Сначала установите соответствие вершин по записи подобия или по равным углам, затем назовите соединяющие их стороны. Проверка по парам вершин помогает не перепутать элементы.
Ошибка — составлять пропорцию из несоответствующих сторон. Её часто допускают, если выбирают стороны по длине или по расположению, а не по соответствующим вершинам; тогда получается неверный коэффициент. Перед вычислением подпишите пары, например AB ↔ DE, и проверьте, что все отношения записаны в одном порядке. Если в одном отношении взята сторона второго треугольника сверху, такой же порядок должен быть и в остальных.
Ошибка — считать равенство двух сторон достаточным условием подобия. Две стороны могут образовывать разные углы, а значит, получатся треугольники разной формы. Для признака по двум сторонам обязательно нужен равный угол именно между ними. Проверьте, что данный угол заключён между обеими сторонами, которые вы сравниваете.
Ошибка — путать коэффициент подобия с отношением периметров или менять порядок деления. Это случается, когда сначала стороны сравнивают от первого треугольника ко второму, а периметры — наоборот. Запишите выбранный порядок, например «второй к первому», и сохраняйте его для всех величин. Отношение периметров должно совпадать с отношением соответствующих сторон в том же направлении.
Для работы с подобием пригодятся свойства углов треугольника: сумма углов равна 180°, поэтому по двум углам можно определить третий. Также нужно знать признаки равенства треугольников и основное свойство пропорции, чтобы правильно находить неизвестную сторону. Навык сопоставления соответствующих элементов помогает не ошибаться при записи отношений.
Подобие применяют в задачах на пропорциональные отрезки и вычисление недоступных расстояний: например, размеры объекта можно определить по измеряемому образцу и общему масштабу. Эти знания понадобятся и при изучении метрических соотношений в прямоугольном треугольнике. Во всех таких задачах сначала устанавливают связь между фигурами, а затем используют пропорцию.
Как правильно определить соответствующие стороны треугольников?
Сначала установите, какие вершины соответствуют друг другу: их углы равны или заданы как соответствующие. Затем сопоставьте стороны, которые лежат напротив соответствующих вершин, либо соединяют соответствующие пары вершин. Порядок вершин в записи подобия помогает не перепутать стороны.
Достаточно ли равенства двух углов, чтобы доказать подобие?
Да. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны по признаку двух углов. Третьи углы тоже равны, потому что сумма углов каждого треугольника равна 180°.
Чем подобие треугольников отличается от их равенства?
У равных треугольников совпадают и форма, и размер: все соответствующие стороны равны. У подобных треугольников форма одна и та же, но размеры могут быть разными, а стороны отличаются в одинаковое число раз.
Как найти коэффициент подобия по известным сторонам?
Разделите длину стороны одного треугольника на длину соответствующей стороны другого. Сначала выберите порядок треугольников и придерживайтесь его во всех отношениях. Если коэффициент больше 1, второй выбранный размер больше первого; если меньше 1 — меньше.
Почему при признаке по двум сторонам важно сравнивать угол между ними?
Равные две стороны сами по себе не задают форму треугольника: угол между ними может меняться, и вместе с ним меняется третья сторона. Равный угол между пропорциональными сторонами обеспечивает одинаковую форму и позволяет применить этот признак подобия.
3.2. Подобие треугольников
