"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Отношение отрезков сравнивает их длины, а пропорциональность показывает, что две пары отрезков относятся одинаково. Эти понятия помогают находить неизвестные длины и решать задачи о параллельных прямых. Чтобы составить пропорцию верно, длины сначала выражают в одних единицах, а соответствующие отрезки записывают в одинаковом порядке. Главное правило вычислений: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение отрезков — это отношение их длин, выраженных в одних единицах. Если длины отрезков равны a и b, отношение записывают a:b или a/b. При переходе, например, от сантиметров к миллиметрам обе длины умножаются на одно и то же число, поэтому их частное не меняется. Это позволяет сравнивать отрезки независимо от выбранной общей единицы измерения.
Пропорциональные отрезки — отрезки, отношения длин соответствующих пар которых равны. Например, отрезки длиной 2 см и 3 см пропорциональны отрезкам длиной 4 см и 6 см, потому что 2/3 = 4/6. Это понятие нужно, чтобы описывать одинаковое соотношение длин и находить неизвестный отрезок, если остальные известны.
Пропорция — равенство двух отношений. Её записывают так: a:b = c:d, или равносильно — a/b = c/d. Буквы обозначают числа, в геометрической задаче это могут быть длины отрезков. Такая запись помогает увидеть, какие отрезки сравниваются, и использовать правила вычисления неизвестной длины.
Сами отрезки — геометрические объекты, а сравнивают их с помощью длин, то есть чисел. Поэтому сначала для каждого отрезка находят или используют его длину, а затем составляют отношение этих чисел. Например, запись «отрезок AB относится к CD как 2 к 5» означает, что длина AB, делённая на длину CD, равна 2/5. Перед делением длины приводят к одинаковым единицам, иначе сравнивались бы числа, измеренные по-разному.
Равенство отношений означает, что две пары длин имеют одно и то же соотношение, — именно это называют пропорциональностью. Проверим пример: отношения 2/3 и 4/6 равны, поскольку 4/6 сокращается до 2/3. Можно проверить и умножением крест-накрест: 2·6 = 3·4, обе части равны 12. Если произведения не равны, исходные отношения не образуют пропорцию.
Из основного свойства пропорции следует правило: произведение крайних членов равно произведению средних. В записи a:b = c:d крайние члены — a и d, средние — b и c, поэтому a·d = b·c. Например, из 4:10 = 6:x получаем 4·x = 10·6. Правило превращает равенство отношений в уравнение, из которого можно выразить неизвестную величину.
Если известны три длины, неизвестную находят, записав их в пропорцию так, чтобы сравнивались соответствующие отрезки. В равенстве 4:10 = 6:x отрезки длиной 4 и 6 стоят на одинаковых местах в своих парах, как и длины 10 и x. После умножения крест-накрест получаем 4x = 60, откуда x = 15. Выбор мест определяется соответствием отрезков, а не удобством случайно переставить числа.
Порядок в отношениях нельзя менять только в одной части пропорции: тогда получится уже другое сравнение. Например, если 2:3 = 4:6, то перевернуть можно оба отношения: 3:2 = 6:4. Также разрешено менять местами средние члены или крайние, сохраняя равносильность пропорции. Перед вычислениями проверьте, что в обеих частях равенства первые и вторые числа обозначают соответствующие пары отрезков.
| Что рассматриваем | Запись | Что означает |
|---|---|---|
| Отношение длин отрезков | a:b = a/b | Деление одной длины на другую |
| Равенство двух отношений | a:b = c:d | Отрезки пропорциональны |
| Основное свойство пропорции | a·d = b·c | Произведение крайних равно произведению средних |
| Нахождение неизвестного члена пропорции | 4:10 = 6:x; x = 15 | Умножить крест-накрест и решить уравнение |
В первой строке таблицы вместо длин можно подставить конкретные числа, предварительно приведя единицы измерения. Во второй строке проверьте, что пары отрезков расположены в одинаковом порядке. Если один член неизвестен, используйте основное свойство из третьей строки.
Длины отрезков равны 6 см и 9 см. Найдём отношение первой длины ко второй и выясним, изменится ли оно при выборе другой единицы измерения. Обе длины уже указаны в сантиметрах, поэтому можно сразу составить отношение. Чтобы запись была проще, сократим полученную дробь.
Ответ: 2:3; результат не зависит от выбора единицы, если обе длины выражены в ней одинаково.
Отрезки длиной 4 см и 10 см пропорциональны отрезкам длиной 6 см и x см. Слово «соответственно» задаёт порядок: сначала сравниваются 4 и 6, затем 10 и x. Запишем равенство отношений, а неизвестную найдём по основному свойству пропорции. После вычисления проверим, действительно ли отношения совпадают.
Ответ: 15 см.
Рассмотрим угол с вершиной A. На одной его стороне лежат точки B и C, причём AB = 3 см и AC = 8 см; на другой стороне отложена точка D, AD = 4,5 см. Через B и D проведена прямая, а через C — параллельная ей прямая, которая пересекает вторую сторону угла в точке E. Нужно найти AE — отрезок, соответствующий AC. Параллельность даёт пропорциональность отрезков на сторонах угла.
Ответ: AE = 12 см.
Сравнивают длины в разных единицах. Например, делят число сантиметров на число миллиметров, не замечая, что единицы различаются. Так ошибаются, когда подставляют в отношение все числа сразу, не проверяя их обозначения. Перед вычислением переведите обе длины в одну единицу и убедитесь, что отношение не меняется при одинаковом переводе.
Меняют порядок отрезков только в одном отношении. Тогда первая длина одной пары сравнивается со второй длиной другой пары, и равенство может описывать не те отрезки. Ошибка часто возникает при перестановке чисел ради удобного вида дроби. Подпишите, каким отрезкам соответствуют члены пропорции, и меняйте порядок сразу согласованно.
Перемножают соседние члены вместо крайних и средних. В пропорции a:b = c:d верное равенство — a·d = b·c, а не произведение чисел, стоящих рядом. Путаница появляется, если не определить положение членов заранее. Отметьте крайние и средние члены или проверьте правило на примере 2:3 = 4:6.
Не проверяют найденную длину. При ошибке в делении или записи пропорции неверное значение может остаться незамеченным. Подставьте результат в исходное равенство и вычислите оба отношения. Они должны совпасть; кроме того, длина отрезка не может быть отрицательной.
Для работы с пропорциями нужно уметь измерять отрезки, сравнивать их длины и выполнять действия с дробями и отношениями. Дальше пропорциональность станет важной при изучении подобных треугольников и теоремы Фалеса: с её помощью связывают длины соответствующих частей фигур. Составлять пропорции полезно и в задачах о параллельных прямых, которые делят стороны угла или отрезки на части. Поэтому умение находить соответствующие отрезки помогает перейти от чертежа к вычислению.
Чем отношение отрезков отличается от самих отрезков?
Отрезок — геометрическая фигура, а отношение отрезков — число, полученное делением их длин. Например, для отрезков длиной 4 см и 8 см отношение длин равно ½.
Почему перед составлением отношения нужно привести длины к одним единицам?
Отношение находят делением одной длины на другую, поэтому делимые величины должны быть выражены одинаковыми единицами. Иначе числа в записи не соответствуют длинам в одной и той же мере.
Как понять, пропорциональны ли четыре отрезка?
Составьте отношения длин соответствующих пар в одинаковом порядке и сравните их. Если отношения равны, отрезки пропорциональны; равенство можно проверить, перемножив крайний и средний члены.
Как найти неизвестный отрезок по трём известным?
Запишите пропорцию, соблюдая порядок соответствующих отрезков. Затем приравняйте произведение крайних членов произведению средних и решите полученное уравнение.
Как связаны параллельные прямые и пропорциональные отрезки?
Если параллельные прямые пересекают стороны угла, они отсекают на этих сторонах соответствующие пропорциональные отрезки. Это позволяет по нескольким известным длинам составить пропорцию и вычислить неизвестную.
3.1. Пропорциональные отрезки
