"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Отношение длин отрезков помогает сравнивать их, а равенство таких отношений показывает, что отрезки пропорциональны. Это понятие связывает геометрию с пропорциями, которые вы уже умеете решать. Главный результат темы: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Теорема объясняется подобием треугольников и позволяет находить неизвестные длины в фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношением двух отрезков называют частное их длин. Например, отношение отрезков длиной 6 см и 3 см равно 6/3 = 2. Перед делением длины выражают в одинаковых единицах: нельзя напрямую сравнивать 2 см и 5 мм, пока не переведёте одну длину.
Отрезки называют пропорциональными, если отношения соответствующих длин равны. Например, для четырёх отрезков это можно записать так: a/b = c/d. Такое сравнение помогает увидеть связь между частями геометрической фигуры и находить неизвестные длины.
Пропорция — это равенство двух отношений, например a/b = c/d. Числа или длины a и d называют крайними членами пропорции, а b и c — средними. Обозначение показывает, какие именно величины сравниваются; поэтому важно записывать их в согласованном порядке.
Разделить отрезок в данном отношении — значит найти на нём точку, которая делит его на две части с заданным отношением длин. Например, при отношении 2:3 одна часть должна быть в два раза меньше другой в соответствующем сравнении. Такое деление используют при построениях и при поиске неизвестных частей отрезка.
Пусть из вершины A выходят две стороны угла, а параллельные прямые пересекают их в точках D и B на первой стороне и E и C на второй. Получаются два отрезка от вершины до ближайших точек пересечения, AD и AE, и два отрезка до дальних точек, AB и AC. Прямые DE и BC параллельны, поэтому точки на разных сторонах угла расположены в согласованных парах.
Рассмотрим треугольники ADE и ABC. У них общий угол A, а углы ADE и ABC равны как соответственные углы при параллельных прямых DE и BC и секущей AB. Значит, треугольники подобны: их углы равны, а стороны отличаются в одном и том же масштабе.
Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: AD/AB = AE/AC = DE/BC. Если нужно сравнить части сторон, то можно записать и AD/DB = AE/EC: к примеру, DB и EC — части сторон между параллельными прямыми. Так формулируется теорема: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Теорема работает благодаря подобию образованных треугольников, а не просто потому, что на чертеже есть несколько линий.
Чтобы найти неизвестную длину, сначала обозначают нужные отрезки и устанавливают их соответствие. Затем записывают равенство отношений и решают пропорцию: например, из a/b = c/x следует x = bc/a, если a не равно нулю. После вычисления проверяют, что использованы именно соответствующие отрезки и что ответ имеет подходящую длину.
Те же рассуждения применяют, если параллельные прямые пересекают продолжения сторон угла: параллельность по-прежнему даёт равные углы, а образованные треугольники можно сопоставить. Однако точки могут оказаться по разные стороны от вершины, поэтому нельзя механически считать «ближайшими» и «дальними» отрезками любые видимые части. Отметьте вершину, точки пересечения и границы каждого отрезка, затем составьте пропорцию для соответствующих сторон подобных треугольников.
Таблица помогает выбрать отношение в зависимости от того, что дано и что требуется найти. Сначала определите соответствующие отрезки по их положению на чертеже, а затем запишите отношение в одном и том же порядке. Если одна из величин — часть стороны, проверьте, не нужно ли сначала выразить её через целую сторону.
| Ситуация | Что известно | Какое отношение составить | Что можно найти |
|---|---|---|---|
| Проверка пропорциональности отрезков | Длины двух пар отрезков | Сравнить отношения соответствующих длин | Пропорциональны ли отрезки |
| Параллельные прямые пересекают стороны угла | Расположение прямых и точек пересечения | Отношения отрезков в одинаковом положении | Связь между длинами частей сторон |
| Известны три длины, требуется найти четвёртую | Три соответствующих отрезка | Равенство двух отношений | Неизвестную длину |
| Точка делит отрезок в заданном отношении | Длина отрезка и заданное отношение | Отношение длин двух частей | Положение точки или длины частей |
Задача 1. Параллельные прямые пересекают стороны угла. Расстояния от вершины до точек пересечения на первой стороне равны 4 см и 10 см, а на второй — 6 см и x см. Найдите x. Предполагается, что 4 и 6 см относятся к ближайшим точкам, а 10 и x см — к дальним.
Ответ: 15 см. В пропорции сопоставлены отрезки в одинаковом положении, а не части между параллельными прямыми.
Задача 2. В треугольнике ABC прямая DE параллельна BC и пересекает AB и AC в точках D и E. Известны длины AB, AD и AC; требуется найти AE. Треугольники ADE и ABC подобны, потому что DE ∥ BC.
Ответ: AE = AD · AC/AB. Числовой результат зависит от значений AB, AD и AC, которые заданы в условии конкретного примера.
Задача 3. В треугольнике ABC прямая DE параллельна BC и пересекает стороны AB и AC. Известны длины частей пересечённых сторон; требуется найти неизвестную часть и обосновать пропорцию. Обозначим части на AB как AD и DB, а на AC — AE и EC.
Ответ: неизвестную часть находят из соответствующей пропорции. Если в условии дана целая сторона, сначала выражают её через части, например AB = AD + DB, и только затем подставляют длины.
Первая ошибка — составить пропорцию из несоответствующих отрезков. Её допускают, если не отмечают, какие части занимают одинаковое положение на сторонах угла. Проверьте себя: подпишите точки, проведите взглядом пары отрезков от вершины и сравните ближние с ближними, а дальние с дальними.
Вторая ошибка — сравнивать длины в разных единицах измерения. Например, в отношении нельзя оставлять одну длину в сантиметрах, а другую в миллиметрах, потому что их числовые значения тогда несопоставимы. Переведите все величины в одинаковые единицы и лишь после этого составьте пропорцию.
Третья ошибка — путать расстояние от вершины до точки пересечения с частью стороны между двумя параллельными прямыми. Такое случается, когда смотрят только на названия точек, а не на границы каждого отрезка. Запишите, например, что AB состоит из AD и DB, и сверяйте каждую длину с чертежом.
Четвёртая ошибка — считать пропорциональными любые отрезки, полученные при пересечении линий. Одного факта пересечения недостаточно: для рассматриваемой теоремы нужны параллельные прямые и соответствующие стороны угла. Перед применением проверьте условие параллельности и только потом выбирайте теорему.
Для работы с пропорциональными отрезками нужны понятия отношения и пропорции, а также умение решать пропорции. Свойства параллельных прямых помогают установить равенство соответственных углов, а затем распознать подобные треугольники. Поэтому теорема о пропорциональных отрезках связывает свойства углов с подобием и вычислением длин. Она пригодится в задачах на подобие и при поиске неизвестных отрезков в геометрических фигурах.
Что значит, что два отрезка пропорциональны?
Это значит, что их длины относятся так же, как длины другой соответствующей пары отрезков. Например, если a/b = c/d, то отрезки длиной a и b пропорциональны отрезкам длиной c и d.
Как понять, какие отрезки нужно поставить в одну пропорцию?
Сравните их положение на чертеже: отрезки от вершины угла до ближайших точек пересечения соответствуют друг другу, как и отрезки до дальних точек. В треугольнике сопоставляйте стороны подобных треугольников в одном и том же порядке.
Почему параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки?
Из-за параллельности возникают равные соответственные углы, а у образованных треугольников есть и общий угол. Поэтому треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон подобных треугольников равны.
Можно ли применять теорему, если прямые пересекают продолжения сторон угла?
Да, если прямые параллельны и точки пересечения расположены на продолжениях сторон. Тогда нужно рассмотреть образованные треугольники и аккуратно сопоставить соответствующие отрезки, учитывая их положение относительно вершины.
Как найти неизвестный отрезок, если известны остальные три?
Сначала установите, какие отрезки соответствуют друг другу, и составьте пропорцию. Затем решите её, например перемножив крайние и средние члены, и проверьте, что полученная длина положительна и подходит к чертежу.
66. Пропорциональные отрезки
